第四节　机械能守恒定律

知识点归纳

知识点一、动能和势能的相互转化

1．机械能：动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．由于能量是标量，物体的机械能可记为E＝Ek＋Ep，也就是说物体具有的机械能为其动能与势能之和．

2．动能和势能的相互转化．

(1)动能与重力势能的相互转化

物体自由下落或沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化为动能；

(2)动能与弹性势能的相互转化

运动的物体沿光滑水平面压缩弹簧时，弹力对物体做负功，物体的动能减少，弹簧的弹性势能增加，动能转化为弹性势能；被压缩的弹簧沿光滑水平面把跟它接触的物体弹出去，弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能．

由此可知，通过重力或弹力做功，动能与势能之间可以相互转化．

知识点二、机械能守恒定律

1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．这叫做机械能守恒定律．

2．表达式

(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 (即)，即研究过程的初状态的机械能总量等于末状态的机械能总量．

(2)ΔEk＝－ΔEp，即系统动能的增加量等于系统势能的减少量．

(3)若系统由A、B两部分组成，则ΔEA＝－ΔEB，即A增加的机械能等于B减少的机械能．

知识点三、对机械能守恒条件的理解

1.对机械能的理解

(1)机械能具有瞬时性．物体在某一时刻的机械能等于那一时刻的动能和势能之和．

(2)机械能是标量．机械能只有大小，没有方向，但有正负(因为势能有正负)．

(3)机械能具有相对性．因为势能具有相对性(需确定零势能面)，与动能相关的速度也具有相对性，所以机械能也具有相对性．

2．机械能守恒的条件

“只有重力或弹力做功”可能有以下三种情况：

①物体只受重力或弹力作用；

②除重力和弹力外，其他力不做功；

③除重力和弹力外，其他力做功的代数和为零．

知识点四、应用机械能守恒定律

1．应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒．

2．机械能守恒定律，只涉及物体系的初、末状态的物理量，而不需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化．

3．应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路．

(1)守恒观点．

始态机械能等于终态机械能，即：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.

(2)转化或转移观点：

①动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即Ek1－Ek2＝Ep2－Ep1.

②一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减小)量，即EA1－EA2＝EB2－EB1.

4．机械能守恒的判定．

(1)对单个物体而言：其机械能是否守恒一般通过做功来判定．分析除重力、弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒，若有其他力做功，且不为零，则其机械能必定不守恒．

(2)对几个物体组成的系统而言：其机械能是否守恒一般通过能量转化来判定．分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化，若无其他形式的能参与转化，则系统的机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能不守恒．

5．应用机械能守恒定律的解题步骤．

(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．

6.机械能守恒定律和动能定理的比较

		机械能守恒定律	动能定理
不 同 点	表达式	E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB	W＝ΔEk
	应用范围	只有重力和弹力做功时	无条件限制
	物理意义	其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度	合外力对物体做的功是动能变化的量度
	关注角度	守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小	动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)
共同点	机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式

知识点五、机械能守恒定律的应用举例

典例分析

一、机械能守恒的判定

例1 下列说法中正确的是(　　)

A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和弹力对物体做功，机械能守恒

B．做竖直上抛运动，只有重力对它做功，机械能守恒

C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒

D．用水平拉力使物体沿光滑水平面匀加速运动，机械能守恒

解析 选项A中，弹力对物体做功，但没有弹性势能参与转化机械能不守恒；选项B中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒；选项C中，物体除受重力作用外，还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒；选项D中，有拉力做功，故机械能不守恒．

答案 BC

二、机械能守恒定律的应用

例2 以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面上竖直向上抛出，若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则：

(1)物体上升的最大高度是多少？

(2)上升过程中在何处重力势能与动能相等？

解析　(1)由于物体在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒．取地面为零势能面，则E₁＝mv，在最高点动能为0，故E₂＝mgh，由机械能守恒定律E₁＝E₂可得：mv＝mgh，所以h＝＝ m＝5 m.

(2)初态物体在地面上，E₁＝mv，设重力势能与动能相等时在距离地面h₁高处，E₂＝mv＋mgh₁＝2mgh₁，由机械能守恒定律可得：mv＝mv＋mgh₁＝2mgh₁，所以h₁＝＝2.5 m.

答案　(1)5 m　(2)2.5 m

 

三、应用机械能守恒定律解决物体系统问题

例3 如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　)

       A．h  　　　　   B．1.5h 

       C．2h  　　　　 D．2.5h

解析　释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，若b落地瞬间速度为v，则3mgh＝mgh＋mv²＋(3m)v²，可得v＝.b落地后，a向上以速度v做上抛运动，能够继续上升的高度h′＝＝.所以a达到的最大高度为1.5h，B正确．

答案　B

归纳总结：由两个或两个以上物体组成的系统中，虽然每个物体的机械能不守恒，但若系统的总机械能守恒，仍可对系统用机械能守恒定律求解.

四、几个功能关系的理解

例4 由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是(　　)

A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2

B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2

C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R

D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度H_min＝R

解析　因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律有mgH＝mg(R＋R)＋mv，解得v_A＝，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有2R＝gt²，水平位移x＝v_At＝·＝2，故选项A错误，B正确；因为小球能从细管A端水平抛出的条件是v_A>0，所以要求H>2R，选项C正确，D错误．

答案　BC

归纳总结：1．重力做功等于重力势能的变化．

2．合外力做的功等于动能的变化．

3．重力(或弹力)以外的其他力做的功等于机械能的变化.

自我检测

1．一个人站在阳台上，以相同的速率v₀分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出．不计空气阻力，则三球落地时的速度(　　)

A．上抛球最大　　　　　                             B．下抛球最大

C．平抛球最大                                             D．三球一样大

解析　在物体做抛体运动的过程中机械能守恒，得mv＋mgh＝mv，得v₁＝，所以三球落地时的速度大小相同，D选项正确．

答案　D

2．如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有(　　)

A．力F所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量

B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量

C．力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量

D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量

解析　对木箱受力分析如右图所示，

则由动能定理：WF－mgh－WF_f＝ΔEk，故C对．

由上式得：WF－WF_f＝ΔEk＋mgh，即WF－WF_f＝ΔEk＋ΔEp＝ΔE，故A错，D对．

由重力做功与重力势能变化关系知B对，故B、C、D对．

答案　BCD

3．质量为m的物体，在距地面h高处以g/2的加速度由静止开始竖直下落到地面，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的重力势能减少了mgh

B．物体的机械能减少了mgh

C．物体的动能增加了mgh

D．重力对物体做功为mgh

解析　此过程中除重力外物体还受到了其他的外力做功，而且做负功，故机械能减少了，故B、C选项错误；物体下落重力势能减少了mgh，故A选项错误，而D选项正确．

答案　D

4．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(　　)

解析　依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件．

答案　C

5．如图所示小球沿水平面通过O点进入半径为R的光滑半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力，下列说法正确的是(　　)

A．小球落地点离O点的水平距离为2R

B．小球落地点时的动能为5mgR/2

C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零

D．若将半圆弧轨道上部的1/4圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最高点与P在同一水平面上

解析　小球运动到P点时恰能通过P点，则在最高点P由重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＝，解得v＝，小球从P点做平抛运动，x＝vt,2R＝gt²，解得x＝2R，选项A正确，选项C错误；由机械能守恒定律有2mgk＋mv²＝E_k，解得E_k＝mgk，选项B正确；若将半圆形轨道上部的圆弧截去，小球离开圆弧轨道做竖直上抛运动，到达最高点时，动能为零，整个过程机械能守恒，所以小球能到达的高度大于P点的高度，选项D错误．

答案　AB

6．游乐场中的一种滑梯如图所示，小朋友从轨道顶端由静止下滑，沿水平轨道滑动一段距离后停下来，则(　　)

A．下滑过程中支持力对小朋友做功

B．下滑过程中小朋友的重力势能增加

C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒

D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功

解析　支持力始终与速度垂直，不做功，A选项错误；下滑过程中重力做正功，重力势能减小，B选项错误；在整个运动过程中摩擦力做负功，机械能减小，故C选项错误，D选项正确．

答案　D

7．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳，从水面上方高台下落，到最低点时距水面还有数米距离，假定空气阻力可以忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)

A．运动员到达最低点前的重力势能始终减小

B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加

C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D．蹦极过程中、重力势能的改变与重力势能零点的选取有关

解析　运动员到达最低点前始终下落，重力做正功、重力势能减小，故A选项正确；弹性势能的变化取决于弹力做功，当蹦极绳张紧后，随着运动员的下落，弹力一直做负功，弹性势能一直增大，故B选项正确；在蹦极过程中，由于只有重力和弹性绳的弹力做功，故运动员、地球及弹性绳组成的系统机械能守恒，故C选项正确；重力势能的大小与零势能面的选取有关．重力势能的变化与零势能面的选取无关，故D选项错误．

答案　ABC

8．人在高h处，斜向上抛出一个质量为m的物体，物体到达最高点时的速度为v₁，落地时速度为v₂，则人对这个物体做的功为(　　)

A.mv－mv                                               B.mv

C.mv－mgh                                                 D.mv－mgh

解析　方法一：可以全程应用动能定理

W_F＋mgh＝mv得

W_F＝mv－mgh.

方法二：也可以在人手推物体过程中应用动能定理

W_F＝mv

物体离开手后运动过程中机械能守恒

mgh＋mv＝mv

故C选项正确．

答案　C

9．如图所示，某人用平行于斜面的拉力将物体沿斜面拉下，已知拉力大小等于摩擦力大小，则下列说法正确的是(　　)

A．物体是匀速下滑的

B．合外力对物体做的功等于零

C．物体的机械能减少

D．物体的机械能保持不变

解析　对物体进行受力分析可知，物体所受合外力等于物体的重力沿斜面向下的分力，则物体一定加速下滑，故A、B选项错误；在下滑过程中只有重力做功，物体机械能保持不变，故C选项错误，D选项正确．

答案　D

10．如图所示，长为L₁的橡皮条与长为L₂的绳子一端固定于O点，橡皮条另一端系一A球，绳子另一端系一B球，两球质量相等．现将橡皮条和绳子都拉至水平位置，由静止释放两球，摆至最低点时，橡皮条和绳子的长度恰好相等．若不计橡皮条和绳子质量，两球在最低点时速度的大小比较(　　)

A．A球较大                                                 B．B球较大

C．两球一样大                                             D．条件不足，无法比较

解析　A球摆至最低点时，重力势能的减少除转化为动能外，还转化为弹性势能．所以A球在最低点时的速度较小．

答案　B

11．如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)

A．在任一时刻，两球动能相等

B．在任一时刻，两球加速度相等

C．在任一时刻，系统动能和重力势能之和保持不变

D．在任一时刻，系统机械能是不变的

解析　细绳剪断后，Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒．

答案　D

12．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有(　　)

A．N小于滑块重力

B．N大于滑块重力

C．N越大表明h越大

D．N越大表明h越小

解析　设滑块到达B点时的速度为v，根据牛顿第二定律有，N－mg＝，得N＝＋mg，故选项B正确，选项A错误；由机构能守恒定律有mgh＝mv²，联立以上等式得N＝mg(1＋)，可知选项C正确，选项D错误．

答案　BC

13．如图所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H＝72 m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h＝37 m．不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度．(g取10 m/s²)

解析　取水平地面为参考平面，在过山车从A点运动到B点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有mgh＋mv²＝mgH

可得过山车运动到B点时的速度为

v＝＝ m/s≈26.5 m/s

答案　26.5 m/s

14．某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v₀＝5 m/s 抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s²，问：

(1)人对小球做了多少功？

(2)小球落地时的速度为多大？

解析　(1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以W＝mv＝×1×5² J＝12.5 J

(2)根据机械能守恒定律可知mgh＋mv＝mv²

所以v＝＝ m/s＝15 m/s

答案　(1)12.5 J　(2)15 m/s

15．如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R＝0.4 m．一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v₀＝5 m/s的初速度，求：(g取10 m/s²)

(1)小球从C点飞出时的速度．

(2)小球到达C点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？

(3)小球从C点抛出后，经多长时间落地？

(4)落地时速度有多大？

解析　(1)小球运动至最高点C过程中机械能守恒，有

mv＝2mgR＋mv

v_C＝＝ m/s＝3 m/s

(2)对C点由向心力公式可知

FN＋mg＝m

FN＝m－mg＝1.25mg

由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的1.25倍．

(3)小球从C点开始做平抛运动

由2R＝gt²知t＝ ＝ s＝0.4 s

(4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v₀.

答案　(1)3 m/s　(2)1.25倍　(3)0.4 s　(4)v₀

16．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．

(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？

(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.(取g＝10m/s²)

解析　(1)小球从ABC轨道下滑过程中机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得

mgH＝mv²                                                                                                                                                                                                                         ①

小球在竖直面内完成圆周运动，在圆周最高点满足：

mg≤                                                                ②

①②两式联立解得H≥0.2m.

(2)若h＜0.2m小球通过C点后做平抛运动，设小球经过C点的速度为v_C，则击中E点时：

竖直方向r＝gt²                                                                                                                                                                                                          ③

水平方向r＝v_Ct                                                                                                      ④

由机械能守恒定律得mgh＝mv                                            ⑤

联立③④⑤解得h＝0.1m.

答案　(1)0.2m   (2)0.1m