第2节　向心力

知识点归纳

知识点一、向心力

1．定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力．

2．作用效果：产生向心加速度，不断改变线速度的方向．

3．方向：总是沿半径指向圆心．

4．大小：F向＝＝mrω2＝．

5．向心力是按作用效果来命名的，是一种效果力．

6．向心力的特点．

(1)向心力是按力的作用效果来命名的力．它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力．例如，小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止的原因是静摩擦力充当向心力；若圆盘是光滑的，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力由细线的拉力提供．

(2)向心力的作用效果是改变线速度的方向．做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力．它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的(线速度大小变化的非匀速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度)．

(3)向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．例如，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力(F向＝F拉－mg)两个力的合力充当．而在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是由重力的分力(F向＝mgtanθ，其中θ为摆线与竖直轴的夹角)充当，因此绝不能在受力分析时沿圆心方向多加一个向心力．

7．向心力的来源分析．

(1)任何一种力或几种力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，这个合力就是物体做圆周运动所需的向心力．

(2)若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定．

(3)若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合力在半径方向上的分力，而合力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．

知识点二、向心力的实例分析

常见圆周运动问题．

①弹力提供向心力．

如图所示，在光滑水平面上的O点系上绳子的一端，绳子另一端系一小球，

使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供．

②静摩擦力提供向心力．

如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供，静摩擦力总是沿半径指向圆心．说明木块相对圆盘的运动趋势方向是沿半径背向圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反．汽车在水平面上拐弯时所需的向心力就是由路面施加的静摩擦力提供的．

③合力提供向心力．

实际上，上述几种情况均是由合力提供向心力的，只不过物体所受的合力就等于其中某个力而已．物体做匀速圆周运动时，其合力必然等于所需的向心力，只不过有时合力不易求出，必须应用平行四边形定则才能求得．

如图所示，汽车过拱桥经最高点时，其向心力由重力和支持力的合力提供．

④向心力由分力提供

如图所示，物体在竖直面内的光滑轨道内做圆周运动．经过A点时，向心力由轨道施加的支持力和重力在半径方向的分力提供，即Fn＝FN－G1．

补充：

图形	受力分析	以向心加速度方向建立坐标系	利用向心力公式

 

知识点三、变速圆周运动

做变速圆周运动的物体所受的合力并不指向圆心，此时合力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Ft和指向圆心方向的分力Fn．

1．Fn产生向心加速度，与速度方向垂直，改变速度的方向．

2．Ft产生切向加速度，与速度方向在一条直线上，改变速度的大小．

3．物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角小于90°，如图甲所示，其

中Ft只改变速度的大小，Fn只改变速度的方向．Fn产生的就是向心加速度．

同理，物体做减速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角大于90°，如图乙所示，其中Ft只改变速度的大小，Fn只改变速度的方向．

知识点四、匀速圆周运动和变速圆周运动的区别

(1)从曲线运动的条件可知，变速圆周运动所受的合外力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减小时，物体受到的合外力与速度之间的夹角是钝角．

  

例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的受力情况如图所示．比较可见，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是：

匀速圆周运动：合外力全部用来提供向心力，即F_合＝F_向

变速圆周运动：合外力沿着半径方向的分量提供向心力，合外力不指向圆心，一般F_合≠F_向．

(2)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，解决变速圆周运动．

典例分析

一、向心力的理解

例1在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力Ff的图是(    )

解析  滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向,B、D错误;小滑块做匀速圆周运动,其合外力提供向心力,故A正确,C错误。

答案  A

归纳总结：(1)向心力是按力的作用效果来命名的,它不是某种确定性质的力,可以由某个力来提供,也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。

(2)对于匀速圆周运动,合外力提供物体做圆周运动的向心力,对于非匀速圆周运动,其合外力不指向圆心,它既要改变线速度大小,又要改变线速度方向,向心力是合外力的一个分力。

(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力。

二、对向心力公式的运用

例2 如图所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球做圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力．

解析  由图可知小球运动的半径r＝Rsin θ．小球做匀速圆周运动，所以小球受到的重力G及碗对小球弹力F N的合力提供向心力，小球在竖直方向合力为零，则FNcos θ＝mg，故F N＝mg/cos θ．小球在水平方向的合力提供向心力，则有

F_向＝F _Nsin θ＝，所以v＝ ．

答案  　

归纳总结：采用动力学的方法，明确圆周运动物体的运动情况和受力情况，明确F_向的来源，运用F_向＝m＝mω²r列方程求解．

三、圆周运动临界问题的分析

例3 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)．物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍．求：

(1)当转盘的角速度为ω₁＝ 时，绳中的张力多大？

(2)当转盘的角速度为ω₂＝ 时，绳中的张力又多大？

解析　(1)当转盘转速较小时，物块做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，当转盘转速较大时，绳中出现张力．由两力的合力提供向心力．

设静摩擦力达到最大，绳中刚开始出现张力时的角速度为ω₀，则

kmg＝mωr，ω₀＝

因为ω₁<ω₀，所以此时绳中的张力F₁＝0

(2)因为ω₂＝ >ω₀，所以绳中出现张力，由kmg＋F₂＝mωr得

F₂＝mωr－kmg＝m( )²·r－kmg＝kmg

答案　(1)0　(2)

归纳总结：与弹力、摩擦力相关的临界问题，令运动物体达到极限状态，从而找出临界条件，然后再对问题做出判断．

自我检测

1．关于向心力的说法中正确的是(　　)

A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动

B．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力

D．向心力只改变物体的运动方向，不可能改变物体运动的快慢

解析　向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故选项A错误，B、C、D三个选项正确．

答案　BCD

2．洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，如图所示，则此时(　　)

A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用

B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的

C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小

D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大

解析　由受力分析知，充当向心力的是筒壁对物体的弹力FN．由FN＝m(2πn)²r，知n增大，则FN增大；而竖直方向上，mg＝F_摩，故F_摩不随转速n变化，故A项正确．

答案　A

3．用长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么(　　)

A．两小球以相同的线速度运动时，长绳易断

B．两小球以相同的角速度运动时，长绳易断

C．两小球以相同的角速度运动时，短绳易断

D．不管怎样，都是短绳易断

解析　绳子最大承受拉力相同，由向心力公式F＝mω²r＝可知，角速度相同，半径越大，向心力越大，故B选项正确．

答案　B

4．如下图所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则(　　)

A．当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动

B．当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动

C．若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω两球也不动

D．若两球相对于杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动

解析　由牛顿第三定律知，M、m间的作用力大小相等，即F_M＝F_m．

所以有Mω²r_M＝mω²r_m，得r_Mr_m＝mM．

所以A、B项不对，C项对(不动的条件与ω无关)；若相向滑动则绳子将不能提供向心力，D项对．

答案　CD

5．一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变，则(　　)

A．物块的加速度为零

B．物块所受合力为零

C．物块所受合力大小一定，方向改变

D．物块所受合力大小、方向均一定

解析　物块在做匀速圆周运动，由F_合＝F_向＝m，知F_合大小不变，方向指向圆心，故C项正确．a_向＝≠0，故A项错．

答案　C

6．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是(　　)

A．a处是拉力，b处是拉力

B．a处是拉力，b处是推力

C．a处是推力，b处是拉力

D．a处是推力，b处是推力

解析　a点在圆心的正下方，该处的向心力方向竖直向上，故杆对小球必定有拉力；b点在圆心的正上方，向心力方向竖直向下，因为重力的方向竖直向下，球需要的向心力与重力相比不知谁大谁小，故杆对小球可能是拉力，也可能是推力，也可能没有作用力．

答案　AB

7．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于(　　)

A．m 　　　　　　  B．m

C．m                D．mg

解析　空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供给飞机一个向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．

首先对飞机在水平面内的受力情况进行分析，

其受力情况如右图所示．飞机受到重力mg、空气对飞机的作用F，两力的合力为F_向，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F_向垂直，故F＝，又F_向＝m代入上式，则F＝m ．

答案　A

8．质量为m的A球在光滑水平面上做匀速圆周运动，小球A用细线拉着，细线穿过板上光滑小孔O，下端系一相同质量的B球，如图所示，当平板上A球绕O点分别以ω和2ω角速度转动时，A球距O点距离之比是(　　)

A．1:2　　　　　　　                                   B．1:4

C．4:1                                                          D．2:1

解析　球A做圆周运动的向心力大小等于B球重力．由F＝mω²r向心力相同，得

＝＝＝．

答案　C

9．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得向心加速度达20 m/s²，g取10 m/s²，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的(　　)

A．1倍                                                        B．2倍

C．3倍                                                         D．4倍

解析　游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示，

由牛顿第二定律得，

F_N－mg＝ma_n，

F_N＝ma_n＋mg＝3 mg，

故C选项正确．

答案　C

10．如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B．当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则(　　)

A．A物块不受摩擦力作用

B．物块B受5个力作用

C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B所受摩擦力也增大

D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴

解析　A物块做匀速圆周运动，一定需要向心力，向心力只可能由B对A的静摩擦力提供，故A选项错误；B物体做匀速圆周运动，受到重力、圆盘的支持力、圆盘的静摩擦力，A对B物体的压力和静摩擦力，故B选项正确；当转速增大时，A、B所受向心力均增大，故C选项正确；A对B的静摩擦力背向圆心，故D选项错误．

答案　BC

11．一根长0．5 m的绳，当受到4．9 N的拉力时会被拉断．在绳的一端拴上质量为0．4 kg的小球，使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，求拉断绳子时的角速度．

解析　由题意可知小球受力如右图所示，

  

其中重力和弹力是一对平衡力，绳子的拉力指向圆心，提供小球做匀速圆周运动的向心力．设绳被拉断时的角速度为ω，则有

F_向＝F＝mω²r

所以ω＝ ＝ rad/s＝4．95 rad/s

答案　4．95 rad/s

12．如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m₁、m₂，且m₁＝2m₂，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r₁与r₂之比为多少？

解析　两小球绕共同圆心做圆周运动，它们的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需向心力大小为F_向，角速度为ω，则对球m₁来说，F_向＝m₁r₁ω²，对球m₂来说F_向＝m₂r₂ω²，所以r₁∶r₂＝m₂∶m₁＝1∶2．

答案　1∶2

13．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，则此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少多大？

解析　小球在锥面上受到拉力、支持力、重力的作用，如图所示．建立如图所示的平面直角坐标系．

对其受力进行正交分解．

在y轴方向，根据平衡条件，得Fcosθ＋F_Nsinθ＝mg，

在x轴方向，根据牛顿第二定律，得Fsinθ－F_Ncosθ＝mLω²sinθ，

解得F＝m(gcosθ＋Lω²sin²θ)．

要使球离开锥面，则F_N＝0，解得ω＝ ．

答案　m(gcosθ＋Lω²sin²θ)