第3节　动能和动能定理

知识点归纳

知识点一、动能

1．定义：物体由于运动而具有的能．

2．表达式：E_k＝mv².

3．特点：动能是标量，是状态量．

4．单位：焦耳.

知识点二、动能定理

1．内容：力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中动能的变化．

2．表达式：W＝Ek2－Ek1＝，其中Ek1表示物体的初动能；Ek2表示物体的末动能；W表示合外力做的功，它等于各个力做功的代数和．如果合外力做正功，物体的动能增加；如果合外力做负功，物体的动能减小．

3．适用范围：

(1)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．

(2)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．

知识点三、动能定理的理解

1．动能定理

(1)推导：设物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的合力F的作用下发生一段位移l，速度增加到v2，如图所示，这个过程F做的功W＝Fl.根据牛顿第二定律有F＝ma，由匀变速直线运动的规律得，可得W＝.

(2)动能定理：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．这个结论就叫做动能定理．

(3)表达式：W＝Ek2－Ek1.

2．动能定理的含义：动能定理反映了合外力对物体做的功与物体动能的变化量之间的对应关系，是动能关系的具体体现．外力对物体做功的过程，正是其他形式的能与动能相互转化的过程．合外力做功的多少，量度了动能转化的多少．当合外力对物体做正功时，W＞0，则Ek2－Ek1＞0，即Ek2＞Ek1，物体动能增加，其他形式的能转化为动能；当合外力对物体做负功时，W＜0，则Ek2－Ek1＜0，即Ek2＜Ek1，物体动能减少，动能转化为其他形式的能．

(1)W总是所有外力对物体做的总功，这些力对物体所做功的代数和等于物体动能的增量，即W总＝W1＋W2＋…(代数和)．或先将物体的外力进行合成，求出合外力F合后，再利用W总＝F合xcos α进行计算．

(2)因为动能定理中功和能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关．中学物理中一般取地面为参考系．

(3)不论物体做什么形式的运动、受力如何，动能定理总是适用的．

(4)动能定理是计算物体位移或速率的简捷公式，当题目中涉及位移时可优先考虑动能定理．

(5)做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”．

(6)动能定理公式两边的每一项都是标量，因此动能定理是一个标量方程．

(7)若Ek2＞Ek1，即W总＞0，合力对物体做正功，物体的功能增加；若Ek2＜Ek1，即W总＜0，合力对物体做负功，物体的动能减少．

知识点四、动能定理的性质

(1)动能是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．

(2)动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．

(3)动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．

2．动能的变化

       ΔEk＝Ek2－Ek1

知识点五、应用动能定理需要注意的问题

(1)明确研究对象和研究过程，找出始、末状态的速度情况．

(2)要对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，明确各力做功的大小及正、负情况．

(3)有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待．

(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可以视为一个整体过程，应用动能定理求解．

知识点五、动能定理和牛顿第二定律的比较

(1)牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力的作用效果是立即产生加速度，将使物体的速度发生变化．动能定理是力对位移的积累作用规律，在某一过程中力对物体做的功产生的效果是使物体的动能发生了变化．

(2)由于动能定理只涉及过程中各力的功及过程的初、末状态，而不涉及加速度和时间，一般用动能定理解决问题，比用牛顿第二定律和运动学公式求解要简单．

(3)由于动能定理只涉及过程中各力的功及过程的初、末状态，不涉及过程中物体的运动性质、物体受的力是变力还是恒力，所以对牛顿第二定律和运动学公式不能解决的变力作用过程，可以用动能定理求解．

典例分析

一、对于动能的理解

例1 关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化，下列说法正确的是(　　)

A．运动物体所受的合外力不为零，合外力必做功，物体的动能肯定要变化

B．运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变

C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零

D．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化

解析　关于运动物体所受的合外力、合外力做的功、物体动能的变化三者之间的关系有下列三个要点：

(1)若运动物体所受合外力为零，则合外力不做功(或物体所受外力做功的代数和必为零)，物体的动能绝对不会发生变化．

(2)物体所受合外力不为零，物体必做变速运动，但合外力不一定做功；合外力不做功，则物体动能不变化．

(3)物体的动能不变，一方面表明物体所受的合外力不做功；同时表明物体的速率不变(速度的方向可以不断改变，此时物体所受的合外力只是用来改变速度方向产生向心加速度，如匀速圆周运动)．

根据上述三个要点不难判断，本题只有选项B是正确的．

答案　B

归纳总结：动能是标量，只有大小而无方向．动能的大小由质量和运动的速率决定，而与速度的方向无关.

二、动能定理的应用

例2 如图所示，质量为m的物体从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求：

       (1)物体滑至斜面底端时的速度；

       (2)物体在水平面上滑行的距离．(不计斜面与平面交接处的动能损失)

解析　(1)物体下滑过程中只有重力做功，且重力做功与路径无关，由动能定理：mgh＝mv²，可求得物体滑至斜面底端时速度大小为v＝；

(2)设物体在水平面上滑行的距离为l，

由动能定理：－μmgl＝0－mv²，解得：l＝＝.

答案　(1)　(2)

三、图像问题中应用动能定理

例3 在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v－t图象如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则(　　)

A．F∶Ff＝1∶3  　　      B．W1∶W2＝1∶1

C．F∶Ff＝4∶1  　　       D．W1∶W2＝1∶3

解析　对汽车运动的全过程，由动能定理得：W1－W2＝ΔEk＝0，所以W1＝W2，选项B正确，选项D错误．由图象知x1∶x2＝1∶4.由动能定理得Fx1－Ffx2＝0，所以F∶Ff＝4∶1，选项A错误，选项C正确．

答案　BC

四、应用动能定理求变力做功

例4 某同学从h＝5 m高处，以初速度v0＝8 m/s抛出一个质量m＝0.5 kg的橡皮球，测得橡皮球落地前瞬时速度为12 m/s，求该同学抛球时所做的功和橡皮球在空中运动时克服空气阻力做的功．(g取10 m/s2)

解析 某同学抛球的过程，球的速度由零增加为抛出时的初速度v0，故抛球时所做的功为:

橡皮球抛出后，重力和空气阻力做功，由动能定理得：即橡皮球克服空气阻力做功为5 J.

答案 16 J　5 J

五、动能定理与曲线运动的综合应用

例5 如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑到底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有(　　)

A．N小于滑块重力                    B．N大于滑块重力

C．N越大表明h越大                  D．N越大表明h越小

解析 设滑块在B点的速度大小为v，开始到B点由动能定理得：mgh＝mv2.在B点由牛顿第二定律得N－mg＝m，因而选B、C.

答案 BC

自我检测

1．一人用力踢质量为1 kg的静止足球，使球以10 m/s的水平速度飞出，设人踢球的平均作用力为200 N，球在水平方向滚动的距离为20 m，则人对球做功为(g取10 m/s²)(　　)

A．50 J                    B．200 J

C．4 000 J                 D．6 000 J

解析　人对足球做功的过程只是在踢球的瞬间，球在空中飞行以及在地面上滚动的过程中，都不是人在做功，所以人对足球做功的过程就是足球获得的动能．根据动能定义式Ek＝mv²得人对足球做的功为50 J.

答案　A

2．在h高处，以初速度v₀向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为(　　)

A．v₀＋                  B．v₀－

C.                   D.

解析　小球在下落过程中重力做功，可由动能定理计算．

在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

mgh＝mv²－mv

解得小球着地时速度的大小为v＝

答案　C

3．如图所示，D、E、F、G为地面上距离相等的四点，三个质量相同的小球A、B、C分别在E、F、G的正上方不同高度处，以相同的水平初速度向左抛出，最后均落到D点．若不计空气阻力，则可判断A、B、C三个小球(　　)

A．在空中运动时间之比为1:3:5

B．初始离地面的高度之比为1:3:5

C．在空中运动过程中重力的平均功率之比为1:2:3

D．从抛出到落地过程中，动能的变化量之比为1:2:3

解析　设小球水平抛出的速度为v，抛出时的高度分别为h_A，h_B，h_C，由题意可知：x_C＝3l，x_B＝2l，x_A＝l，由于小球做平抛运动，水平位移x＝v·t，得t_A:t_B:t_C＝1:2:3，根据h＝gt²，可得h_A:h_B:h_C＝1:4:9，所以选项A、B错误；在小球落到D点的过程中，W_A:W_B:W_C＝1:4:9，则P_A:P_B:P_C＝1:2:3，选项C正确；由动能定理可知，小球从抛出到落地的动能变化之比等于重力做功之比，故ΔE_kA:ΔE_kB:ΔE_kC＝1:4:9，选项D错误．

答案　C

4．有两个物体a和b，其质量分别为m_a和m_b，且m_a>m_b，它们的动能相同，若a和b分别受到不变的阻力F_a和F_b的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为s_a和s_b，则(　　)

A．F_a>F_b且s_a<s_b                                          B．F_a>F_b且s_a>s_b

C．F_a<F_b且s_a>s_b                                          D．F_a<F_b且s_a<s_b

解析　由题意知：m_av＝m_bv，由于m_a>m_b，所以v_a<v_b，两者在相同时间内停下来，考虑到s_a＝t，s_b＝t，故得到s_a<s_b.由动能定理－Fs＝0－E_k知F＝E_k/s，所以F_a>F_b.

答案　A

5．某人从一楼匀速率上到三楼的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．地板对人的支持力做的功等于人的重力势能的增加

B．地板对人的支持力做的功等于人的机械能的增加

C．地板对人的支持力做的功为零

D．人克服重力做的功等于其重力势能的增加

解析　由功的定义知，做功的两个因素是力和沿力方向上的位移，当人走路过程中，脚站在地面上，有支持力，但无位移；而当人走动，脚离开地面，有位移却无支持力，所以地板对人的支持力不做功，而克服重力做的功等于其重力势能的增加，选项C、D正确．

答案　CD

6．一人用力把质量为1kg的物体由静止向上提高1m，使物体获得2m/s的速度，则(　　)

A．人对物体做的功为12J

B．合外力对物体做的功为2J

C．合外力对物体做的功为12J

D．物体克服重力做的功为10J

解析　由动能定理得W_人－mgh＝mv²－0，人对物体做的功为W_人＝mgh＋mv²＝1×10×1J＋×1×2² J＝12J，故A项对；合外力做的功W_合＝mv²＝2J，故B项对，C项错；物体克服重力做功为mgh＝10J，D项对．

答案　ABD

7．如图所示，质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v₀沿水平方向射中木块并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为L′.若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是(　　)

A．FL＝Mv²                                B．FL′＝mv²

C．FL′＝mv－(M＋m)v²            D．F(L＋L′)＝mv－mv²

解析　根据动能定理：对子弹：－F(L＋L′)＝mv²－mv，选项D正确；对木块：FL＝Mv²，A正确；由以上两式整理可得FL′＝mv－(M＋m)v²，C正确．

答案　ACD

8．一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用，此后，该质点的动能(　　)

A．一直增大

B．先逐渐减小，再逐渐增大

C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小

D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大

解析　如果物体所受恒力与原速度相同或速度方向与恒力方向成锐角，力对物体始终做正功，则物体动能始终增加，故A选项正确；若恒力与速度方向相反或速度方向与力的方向的夹角大于90°，则恒力先做负功再做正功，动能先减小后增大，若速度与恒力的夹角为钝角，则物体的动能不能减小到零，然后动能逐渐增加，故B、D选项正确；物体的动能先增大再减小这种情况不存在，故C选项错误．

答案　ABD

9．一个物体从斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端，已知物体的初动能为E，它返回到斜面底端的速度为v，克服摩擦力做功为E/2，若物体以2E的初动能冲上斜面，则有(　　)

A．返回斜面底端时的速度大小为v

B．返回斜面底端时的动能为E

C．返回斜面底端时的动能为

D．物体两次往返克服摩擦力做功相同

解析　由题意可知，第二次初动能是第一次的2倍，两次上滑加速度相同，据推导公式可得s₂＝2s₁，则Wf₂＝2Wf₁＝E，回到底端时动能也为E，从而推知返回底端时的速度大小为v.

答案　AB

10．如图所示，质量为m的物体静止放在水平光滑的平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v向右匀速走动的人拉着．设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为(　　)

A.                                                            B．mv²

C.                                                          D.

解析　人的速度为v，人在平台边缘时绳子上的速度为零，则物体速度为零，当人走到绳子与水平方向夹角为30°时，绳子的速度为v·cos30°.据动能定理，得W＝ΔE_k＝m(vcos30°)²－0＝mv²²＝mv².

答案　D

11．质量为1 500kg的汽车在平直的公路上运动，v­t图象如图所示．由此可求(　　)

A．前25s内汽车的平均速度

B．前10s内汽车的加速度

C．前10s内汽车所受的阻力

D．15～25s内合外力对汽车所做的功

解析　在v­t图象中图线与坐标轴围成的面积，表示位移．因此只要能求得位移大小，根据＝，即可求出平均速度，故A选项正确；前10 s汽车做匀加速直线运动，由a＝，可求得加速度，故B选项正确；由牛顿第二定律F－F_阻＝ma，因不知牵引力F，故无法求得阻力F_阻，C选项错误；由动能定理，可求得15 s～25 s内合外力所做的功，故D选项正确．

答案　ABD

12．质量为3 000 t的火车，以额定功率自静止出发，所受阻力恒定，经过10³ s行驶12 km达最大速度vm＝72 km/h，试分析：

(1)火车运动性质．

(2)火车的额定功率．

(3)运动中所受阻力．

解析　火车达最大速度之前，牵引力F＝是一个变量，由牛顿第二定律a＝可知，火车做加速度减小的加速运动，直到匀速．

设火车的额定功率为P，阻力为Ff，由于牵引力的功为W₁＝Pt，据动能定理得

Pt－Ffl＝mvm²－0①

又P＝F·vm＝Ff·vm②

由①②式可得P＝1.5×10⁶ W，Ff＝7.5×10⁴ N

答案　(1)火车做加速度减小的加速运动，直到匀速(2)1.5×10⁶ W　(3)7.5×10⁴ N

13．如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P为l，以初速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的路程．

解析　设物体在整个过程中的路程为l′，则摩擦力做功WF_f＝－μmgcos θ·l′

支持力始终与运动方向垂直，支持力做功WF_N＝0

据动能定理有WG＋WF_f＋WF_N＝E_末－E_初

即mgsin θ·l－μmgcos θ·l′＝0－mv

解得l′＝

答案　

14．质量为m的物体以速度3v₀竖直向上抛出，物体落回原处时速度大小为3v₀/4，求：

(1)物体运动中所受的平均空气阻力；

(2)物体以初速2v₀竖直向上抛出时的最大高度．(设空气阻力大小不变)

解析　(1)设平均空气阻力为f.上升时mgh＋fh＝m(3v₀)²

对全程－2fh＝m²－m(3v₀)²

由以上两式可解得f＝mg.

(2)fH＋mgH＝m(2v₀)²解得所求最大高度H＝.

答案　(1)mg   (2)

15．如图所示，物块m从高为h的斜面上滑下，又在同样材料的水平面上滑行s后静止．已知斜面倾角为θ，物块由斜面到水平面时圆滑过渡，求物块与接触面间的动摩擦因数．

解析　物体在斜面上下滑时摩擦力做负功，重力做正功，动能增加，在水平面上滑行时只有摩擦力做负功，最后减速到零，全过程动能变化量为零，可在全过程中应用动能定理求解．

在全过程中应用动能定理，有mgh－＝0.

解得　μ＝.

答案