第2节　重力势能

知识点归纳

知识点一、重力做功

1．物体的高度发生变化时，重力要做功．物体被举高时，重力做负功；物体下落时，重力做正功．

2．特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．

知识点二、重力势能

1．定义：物体由于被举高而具有的能量．

2．大小：等于它所受重力与所处高度的乘积．

3．表达式：Ep＝mgh.

4．单位：焦耳，与功的单位相同．

5．相对性：重力势能总是相对选定的参考平面而言的(该平面常称为零势面)．

6．系统性：重力势能是地球与物体所组成的系统共有的．

知识点三、重力做功与重力势能变化的关系

1．表达式：WG＝Ep1－Ep2.

2．重力势能的变化是绝对的，与零势面的选取无关．

3．两种情况．

(1)当物体从高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减小，即WG>0，Ep1>Ep2.

(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG<0，Ep1<Ep2.重力做负功也叫做克服重力做功．

知识点三、重力做功和重力势能

1．重力做功：重力对物体所做的功只跟物体初、末位置的高度差有关，跟物体运动的路径无关．具体可从以下几方面理解：

(1)重力做功的多少，不受其他力做功的影响．不论有多少力对物体做功，重力做功只与重力、物体在重力方向上的位移有关．

(2)重力做功不受运动状态、加速度等因素的影响．

2．重力势能．

①系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上物体独有的，通常所说的物体的重力势能是一种不确切的习惯说法．

②相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度．重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正、负之分，当物体在参考平面之上时，重力势能Ep为正值；当物体在参考平面之下时，重力势能Ep为负值．注意物体重力势能的正、负的物理意义是表示比零势能大，还是比零势能小．

③参考平面选择的任意性.视处理问题的方便而定，一般可选择地面或物体运动时所达到的最低点所在水平面为零势能参考平面.

④重力势能变化的绝对性：物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的．我们关注的是重力势能的变化，这意味着能的转化问题．

3．重力做功与重力势能的比较：

项目	重力做功	重力势能
定义	重力对物体所做的功	物体由于被举高而具有的能量
表达式	WG＝mgΔh	Ep＝mgh
影响大小的因素	重力和初、末位置的高度差	重力和某一位置的高度
特点	只与初、末位置的高度差有关．与路径及参考平面的选择无关	与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面会有不同的重力势能
	过程量	状态量

知识点四、重力做功与重力势能变化的关系

设A、B两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)．

若从B点运动到A点，则WG＝－mgh(重力对物体做负功mgh)；从能量的角度，ΔEp＝mgh(重力势能增加mgh). 

若从A点运动到B点，则WG＝mgh(重力对物体做正功mgh)；从能量的角度，ΔEp＝－mgh(重力势能减少mgh)．可见，重力势能的改变量ΔEp只与重力做功WG有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即WG＝－ΔEp.也就是说，重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即WG＝Ep1－Ep2＝mgh1－mgh2.

知识点五、弹性势能

1．定义：发生弹性形变的物体，各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能．

2．相关因素：弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大．在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能越大．

知识点六、弹性势能与弹力做功

1．重力势能与重力做功的关系：重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．

2．类比：

弹力做正功时，弹性势能减少，减少的弹性势能等于弹力所做的功；弹力做负功时，弹性势能增加，增加的弹性势能等于克服弹力所做的功．

知识点七、弹性势能的理解

1．弹性势能的特点．

(1)弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点，因相对位置改变而具有的能量，因而也是对系统而言的．

(2)弹性势能也是相对的，其大小在选定了零势能面后才有意义．对弹簧，零势能面一般选弹簧自由长度时为零．

(3)物体上升，物体克服重力做功，重力势能增加，用力拉或压弹簧，弹簧克服弹力做功，弹性势能增加．

2．弹力做功与弹性势能变化的关系

如图所示，弹簧左端固定，右端连一物体，O点为弹簧的原长处．

当物体在由O点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹簧弹性势能增加．

当物体在由A点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A′点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小．

总之，当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能．这一点与重力做功跟重力势能变化量的关系相似．

知识点八、弹簧弹性势能有关的物理量

(1)压缩的弹簧能将物体弹出，弹簧的压缩量越大，物体被弹出的距离越远，说明弹性势能与弹簧长度的改变量有关．

(2)用不同劲度系数的弹簧做实验，发现压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，将物体弹出的距离越远，说明弹性势能与弹簧的劲度系数有关．

弹性势能与重力势能的比较

	弹性势能	重力势能
定义	发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能	物体由于被举高而具有的势能
表达式	Ep＝kx2	Ep＝mgh
相对性	弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为零，表达式最为简洁	重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关
系统性	弹性势能是弹簧本身具有的能量	重力势能是物体与地球这一系统所共有的
功能关系	弹性势能的变化等于克服弹力所做的功	重力势能的变化等于克服重力所做的功
联系	两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定．同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化

典例分析

一、重力做功问题

例1 在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v₀分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)(　　)

A．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等

B．从抛出到刚着地，重力分别对两球做的功都是正功

C．从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等

D．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等

解析　重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关．由W＝mgh得出大小只由重力和高度的变化决定，故A、B项正确．由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝，知P_上<P_下，故C项错误．由运动学公式得出落地时速度相同，其瞬时功率P＝mgv，则相同，故D项正确．

答案　ABD

归纳总结：1．重力做功的特点，只与初、末位置有关，与路径无关．

2．做功大小只取决于mg与h，与运动状态及其受力无关.

二、重力势能及其变化的理解

例2 如图所示，桌面距地面的高度为 0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：

(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减小多少？

(2)以地面为零势能参考平面．计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减小多少？

(3)比较以上计算结果，说明什么问题？

解析 (1)以桌面为零势能参考平面，物体距零势能参考平面的高度为h1＝0.4 m，因而物体具有重力势能Ep1＝mgh1＝2× 9.8×0.4 J＝7.84 (J).

物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 (J)，因此物体在此过程中的重力势能减小量ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J.

(2)以地面为零势能参考平面，物体的高度h′1＝(0.4＋   0.8) m＝1.2 m，因而物体的重力势能E′p1＝mgh′1＝2×9.8×1.2 J＝23.52 (J).

物体落至地面时重力势能为0.

在此过程中，物体的重力势能减小量为

ΔE′p＝E′p1－E′p2＝23.52 J－0＝23.52 (J).

(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关．

答案 (1)7.84 J　23.52 J　(2)23.52 J　23.52 J　(3)见解析

归纳总结：1．重力势能具有相对性，h是相对于参考面而言的，故计算重力势能时要先选参考平面．

2．重力势能的改变具有绝对性，它只取决于初、末位置的高度差.

三、重力做功与重力势能的变化关系

例3 如图所示，质量为m的小球从曲面左侧上的A点滚下，经过最低点后滚到曲面右侧上的B点．已知A点距最低点的高度为h1，B点距最低点的高度为h2.求小球从A点滚到B点的过程中，重力做了多少功？小球的重力势能变化了多少？ 

解析 重力做的功为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)

因为高度减小，重力做正功，所以重力势能减少，且减少的重力势能等于重力所做的功，故小球的重力势能减少了  mg(h1－h2)．

答案 mg(h1－h2)　减少了mg(h1－h2)

归纳总结：在应用重力做功和重力势能变化关系解题时应注意：

(1)重力做的功等于重力势能的减少量而不是增加量，WG＝E_p1－E_p2.

(2)重力势能的变化由重力做功多少来量度.

四、重心变化类物体重力势能变化

例4 质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后．链条滑离桌面，问：从开始到链条刚好滑离桌面过程中重力势能变化了多少？

解析：由图中初态和末态比较，可等效成将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了L，所以重力势能减少了mg·L＝mgL，即ΔE_p＝－mgL.

答案：减少了mgL

五、弹性势能

例5  关于弹力做功与弹性势能变化的关系，我们在进行猜想时，可以参考对重力做功与重力势能变化的关系的讨论，则下面的猜想有道理的是(　　)

①弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将增加

②弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少

③弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将增加

④弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将减少

A．①④　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④

解析：弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少；当弹力做负功时，弹性势能将增加，故选项B正确．

答案：B

六、弹力做功的计算

例6  一根弹簧的弹力与弹簧的伸长量之间的关系图线如图所示，那么弹簧的伸长量由8 cm到4 cm的过程中，弹力做功与弹性势能的变化量分别为(　　)

A．3.6 J，－3.6 J            B．－3.6 J,3.6 J

C．1.8 J，－1.8 J            D．－1.8 J,1.8 J

解析 F­l图线与l轴围成的面积表示弹力做功的大小，故 W＝×0.08×60 J－  ×0.04×30 J＝1.8 J，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，故弹性势能减少1.8 J，C正确．

答案 C

七、重力势能和弹性势能

例7  如图所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中(　　)

    A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小

    B．小球的速度在bc段逐渐减小

    C．小球的重力势能在a→b→c过程中不断减小

    D．小球的弹性势能在bc段不断增大

解析　小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力等于弹力大小，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力后来小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的变减速运动，故A、B错误．

小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C正确．

小球在bc段，弹簧压缩越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．

答案　CD

归纳总结：功是能量转化的量度，因此确定某一过程中某力做的功，是研究该过程能量转化的重要方法.

自我检测

1．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了

D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功

解析　物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错．物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错．重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错．重力做的功量度了重力势能的变化，D选项正确．

答案　D

2．下列关于重力做功及重力势能的说法中，正确的是(　　)

A．两物体A、B，A的高度是B的2倍，那么A的重力势能也是B的2倍

B．如果考虑空气阻力，从某一高度下落一物体到达地面，物体重力势能的减少要比无阻力自由下落时重力势能减少得少

C．重力做功的多少，与参考平面的选取无关

D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但这并不影响研究有关重力势能的问题

解析　由重力势能计算公式Ep＝mgh可知，重力势能由mg和h共同决定，故A选项错误；由ΔEp＝－mgh可知，重力势能的变化只与mgh有关，而与阻力无关，故B错误，C正确；虽然重力势能具有相对性，选择不同的参考平面，物体具有不同重力势能的数值，但这并不影响对重力势能的研究，故D正确．

答案　CD

3．利用超导材料和科学技术可以实现磁悬浮．若磁悬浮列车的质量为20 t，因磁场间的相互作用而浮起的高度为 100 mm，则该过程中磁悬浮列车增加的重力势能为(　　)

A．20 J　　　　　　　　B．200 J

C．2.0×10⁴ J           D．2.0×10⁷ J

解析　因磁场间的相互作用，列车浮起的高度为100 mm，增加的重力势能为ΔEp＝mgh＝20×10³×10×100×10^－3 J＝2.0×10⁴ J，正确选项为C.

答案　C

4．一只100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s²)(　　)

A．重力做功为1.8 J

B．重力做了0.55 J的负功

C．物体的重力势能一定减少0.55 J

D．物体的重力势能一定增加1.25 J

解析　整过程重力做功WG＝mgh＝0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故重力势能减少0.55 J，所以选项C正确．

答案　C

5．关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关

B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关

C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大

D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关

解析　弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能也越大．对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故正确答案为A、B、C.

答案　ABC

6．如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了l.关于拉力F随伸长量l的变化图线，下图中正确的是(　　)

解析　根据胡克定律：F′＝kl，外力F与弹簧弹力F′始终平衡，所以有F＝kl，拉力F随伸长量l的变化图线为一条倾斜直线．

答案　A

7．在一次“蹦极”运动中，人由高空跳下到最低点的整个过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．重力对人做正功

B．人的重力势能减少了

C．橡皮绳对人做负功

D．橡皮绳的弹性势能增加了

解析　人一直在下落，故重力对人做正功，人的重力势能不断减少，所以A、B正确；由于橡皮绳不断伸长，所以弹力对人做负功，使橡皮绳的弹性势能不断增加，故C、D正确．

答案　ABCD

8．要将一个质量为m，边长为a的匀质正方体推翻，推力对它做的功至少为(　　)

A.mga                                                       B.

C.                                               D.

解析　未推时，其重心离地面的高度为，翻倒过程中，其重心离地面的最大高度为a，克服重力做功为W＝mg＝，所以推翻该立方体至少做功为，D选项正确．

答案 D

9．如图所示，质量为M的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧处于原长时，用手拉着其上端P点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离．在这一过程中，P点的位移为H，则物体重力势能的增加量为(　　)

A．MgH                                                       B．MgH＋

C．MgH－                                             D．MgH－

解析　物体离开地面时，弹簧的伸长量x＝，物体上升的距离h＝H－x，则物体重力势能的增加量ΔE_p＝Mgh＝MgH－，故C选项正确．

答案　C

10．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功W₁，第二次把它拉到B点后再让其回到A点弹力做功W₂，则这两次弹力做功的关系为(　　)

A．W₁<W₂                                                    B．W₁＝2W₂

C．W₂＝2W₁                                                 D．W₁＝W₂

解析　弹簧弹力做功只跟弹簧的形变量有关，即与弹簧的初、末位置有关，与过程无关，故D选项正确．

答案　D

11．如图所示，劲度系数为k₁的轻质弹簧两端分别与质量为m₁、m₂的物块1、2拴接，劲度系数为k₂的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了______________，物块1的重力势能增加了______________．

解析　弹簧2原先被压缩的长度Δx₂＝g，所以在下面的弹簧的下端刚脱离桌面时，物块2的重力势能增加ΔE_p2＝m₂gΔx₂＝g²，弹簧1原先被压缩Δx₁＝，弹簧2下端刚脱离桌面时，弹簧1伸长Δx₁ ′＝，所以物块1的重力势能的增加量为ΔE_p1＝m₁g(Δx₁＋Δx₁′＋Δx₂)＝m₁(m₁＋m₂)g².

答案　g²　m₁(m₁＋m₂)(＋)g²

12．面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的，质量为m，开始时，木块静止，有一半没入水中．如图7－4－7所示，现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦．求从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量.

解析　如右图所示的1和2分别表示木块在刚没入水中时和到达池底时的位置，木块从位置1移到位置2，相当于使同体积的水从位置2移到位置1，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和在位置2的势能之差．因为木块密度为水的，木块的质量为m，所以与木块同体积的水的质量为2m，故池水的势能改变量：

ΔEp＝2mg－2mg＝2mg(H－a)

答案　2mg(H－a)

13．如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少？

解析　铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了h＝，因而物体克服重力所做的功为W＝mgl/2＝×10×9.8×2 J＝98 J.

答案　98 J

14．如图所示，质量m＝2kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的摩擦因数为0.5，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s²，求：

(1)前2s内重力做的功；

(2)前2s内重力的平均功率；

(3)2s末重力的瞬时功率．

解析　(1)由牛顿第二定律得　mgsinθ－μmgcosθ＝ma解得a＝2m/s²，

前2s内物体的位移l＝at²＝×2× 2²m＝4m，

前2s内重力做的功W＝mgl·sinθ＝48 J.

(2)根据P＝，得P＝ W＝24 W.

(3)木块2s末的速度v＝at＝4 m/s，重力在2s末的瞬时功率P′＝mgsinθ·v＝48 W.

答案　(1)48 J  (2)24 W  (3)48 W

15．起重机以的加速度将质量为m的物体匀加速地沿竖直方向提升高度为h，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少，物体克服重力做功为多少？(不计空气阻力)

解析　由牛顿第二定律得，F－mg＝ma，得F＝mg.

起重机钢索拉力对物体做的功，W₁＝Fh＝mgh.

重力做功W₂＝－mgh，则物体克服重力做功W₂′＝mgh.

答案　mgh　mgh