|
第3节 万有引力理论的成就 知识点归纳 知识点一、计算中心天体的质量和密度 1．天体质量的计算． (1)对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力． ①若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期T和半径r，则由G＝mr，解得中心天体的质量为M＝.如果测出周期T和半径r，就可以算出中心天体的质量． ②若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径为r，卫星运行的线速度为v，则由G＝m，解得中心天体的质量为M＝. ③若已知卫星运行的线速度v和运行周期T，则 M＝. (2)对于没有卫星的天体(或虽有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量)，可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力的关系列式，计算天体质量．若已知天体的半径R和该天体表面的重力加速度g，则有mg＝G解得天体的质量为M＝. 2．天体密度的计算． 如果中心天体为球体，则密度ρ＝＝＝，式中R为中心天体的半径，r为中心天体与行星(卫星)间的距离． 知识点二、发现未知天体 1．海王星的发现过程．18世纪，人们观测发现，1781年发现的太阳系的第七颗行星——天王星的运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差． 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新星的轨道． 1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．后来，这颗行星命名为海王星． 2．哈雷彗星的“按时回归”． 1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这就是哈雷彗星． 知识点三、天体的运动规律 1.几个重要的物理量 (1)线速度v：由G＝m得v＝ ，可见，r越大，v越小；r越小，v越大． (2)角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大 (3)周期T：由G＝m2r得T＝2π ，可见，r越大，T越大；r越小，T越小． (4)向心加速度an；由G＝man得an＝，可见，r越大，an越小；r越小，an越大． 知识点四、双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动．这种天体结构叫做双星(如图所示)．
特点： (1)由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即角速度相等，周期相等． (2)由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是双星间的距离)，可得r1＝L，r2＝L，即固定点离质量大的星球较近. 典例分析 一、天体质量的计算
A. B. C. D. 解析 设卫星的质量为m′ 由万有引力提供向心力，得G＝m′① m′＝m′g② 由已知条件：m的重力为N得N＝mg③ 由③得g＝，代入②得：R＝ 代入①得M＝，故A、C、D三项均错误，B项正确． 答案 B 二、天体密度的计算
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有G＝mR得M＝. 根据数学知识可知星球的体积V＝πR3，故该星球密度ρ＝＝＝. 卫星距天体表面的高度为h时有G＝m(R＋h)得M＝，ρ＝＝＝. 答案 归纳总结：宇宙飞船靠近行星表面运动，轨道半径等于行星半径，宇宙飞船的环绕周期T通过表可测出，由宇宙飞船做圆周运动的向心力由万有引力来提供，可求出行星的质量，再由ρ＝，V＝πR3可求出行星的密度. 三、应用万有引力定律分析实际问题
A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同且大于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 解析 因卫星运动的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对．由G＝ma得a＝G.即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错． 由G＝得T＝2π. 即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对．由G＝得v＝. 即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c线速度大小相等且小于a的线速度，D对． 答案 ABD 四、双星模型
A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的 C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍 解析 设冥王星和卡戎的质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，它们之间的距离为L.冥王星和卡戎绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，转动周期和角速度相同，选项B错误；对于冥王星有＝m1ω2r1，对于卡戎有＝m2ω2r2，可知m1ω2r1＝m2ω2r2，故＝＝，选项A正确；又线速度v＝ωr，故线速度大小之比＝＝，选项C错误；因两星的向心力均由它们之间的万有引力提供，故大小相等，选项D错误． 答案 A 自我检测 1．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的 重力加速度约为( ) A．0.2 g B．0.4 g C．2.5 g D．5 g 解析 物体在星球表面的万有引力近似等于它所受的重力．由＝mg得g＝，所以＝，得g火＝0.4g. 答案 B 2．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)( ) A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3 D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4 解析 根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星(卫星)的运动的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由G＝mrω2＝m＝mvω＝mv等分析．如果知道中心天体表面的重力加速度，则可由M＝分析． 答案 AC 3．离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的( ) A．2倍 B. C．4倍 D．(－1)倍 解析 因为g′＝G·；g＝G；g′＝g，所以h＝( －1)R. 答案 D 4．甲、乙两星球的平均密度相等，半径之比是R甲:R乙＝4:1，则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是( ) A．1:1 B．4:1 C．1:16 D．1:64 解析 由黄金代换式g＝可得g甲∶g乙＝M甲·R∶M乙·R，而M＝ρ·πR3.可以推得mg甲∶mg乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1.故B选项正确． 答案 B
A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3 D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4 解析 计算地球的质量有两种方法：①以地球为中心星体，已知地球的行星或卫星的有关量．B、C均以太阳为中心星体，只能求太阳的质量．B、C错误．由＝mR得M＝，A正确．②已知地球表面的重力加速度和地球半径，由＝mg得M＝.但D中R4不是地球半径，D错误． 答案 A 6．“神舟八号”飞船与“天宫一号”成功实现对接．某同学为此画出“天宫一号”和“神舟八号”绕地球做匀速圆周运动的假想图如图所示，A代表“天宫一号”，B代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道．由此假想图，可以判定( )
A．“天宫一号”的运行速率小于“神舟八号”的运行速率 B．“天宫一号”的周期小于“神舟八号”的周期 C．“天宫一号”所需的向心力小于“神舟八号”所需的向心力 D．“神舟八号”适当加速有可能与“天宫一号”实现对接 解析 由题意可知“天宫一号”的轨道半径大于“神舟八号”的轨道半径，卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供即，＝.由此式得v＝，所以“天宫一号”的速率小于“神舟八号”的速率，选项A正确，同理可得卫星的周期T＝ ，由此式可知轨道半径越大运动周期越大，选项B错误；由于不能确定“天宫一号”和“神舟八号”的质量，故不能确定“天宫一号”和“神舟八号”的向心力的大小关系，选项C错误；“神舟八号”在低轨道，适当加速后“神舟八号”做离心运动，可能实现与“天宫一号”的对接，选项D正确． 答案 AD 7．甲是在地球表面附近运行的近地卫星，乙是地球的同步卫星，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，乙运行高度为h，甲、乙的轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( ) A．甲的线速度为，乙的线速度为 B．甲、乙的向心加速度均为零 C．甲、乙均处于完全失重状态 D．甲、乙的运动周期均为T 解析 卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供的，即＝，在地球表面运行的近地卫星r＝R，地球表面的重力加速度g＝，由以上各式得近地卫星的线速度v＝，地球同步卫星的运行轨道半径r＝h＋R，同步轨道处的重力加速度g′＝，所以乙的线速度为 .选项A错误；甲、乙均做匀速圆周运动，重力加速度为向心加速度，甲、乙均处于完全失重状态，选项B错误，选项C正确；地球近地卫星的周期小于T，故选项D错误． 答案 C 8．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量和地球质量之比为( ) A. B. C. D. 解析 无论地球绕太阳公转，还是月球、地球运转，统一的公式为＝m，即M＝，所以＝. 答案 A 9．要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有( ) A．已知地球半径R B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T D．地球公转的周期T′及运转半径r′ 解析 设有相对地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G＝mg，解得 M＝. 所以选项A是正确的． 设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得 ＝m·，M＝ 所以选项B也正确． 再根据T＝，得M＝＝＝ 所以选项C也正确． 若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以D项错误． 答案 ABC 10．如下图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则( )
A．经过时间t＝T1＋T2，两行星再次相距最近 B．经过时间t＝，两行星再次相距最近 C．经过时间t＝，两行星相距最远 D．经过时间t＝，两行星相距最远 解析 设t s后两星相距最近，B星转过n周，A星转过(n＋1)周，则nT2＝(n＋1)T1＝t， 解得t＝. 当两星相距最远时，可得nT2＝T1＝t， 得t＝. 答案 BD 11．搭载着嫦娥二号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的圆形工作轨道．不考虑卫星质量变化，下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大 B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大 C．卫星在轨道Ⅲ上过P点时加速度可能比在轨道Ⅰ上过P点时大 D．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅱ上经过P点时小 解析 由开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅲ的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期，选项A错误；轨道Ⅲ是卫星绕月球的圆形轨道，卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，轨道Ⅱ是椭圆轨道，P点是轨道Ⅱ的近月点，卫星在轨道Ⅱ上经过P点时做离心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小，选项D正确；同理可知选项B错误；P点距月球中心的距离一定，由牛顿第二定律可知，只要卫星经过P点其加速度大小一定，选项C错误． 答案 D 12．宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M. 解析 设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则 x2＋h2＝L2 ① 同理对于第二次平抛过程有 (2x)2＋h2＝(L)2 ② 由①②解得h＝ . 设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得 h＝gt2 ③ 由万有引力定律与牛顿第二定律得 G＝mg④ 由以上各式可解得M＝. 答案 13．为了迎接太空时代的到来，美国国会通过了一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上．已知地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.当在地球表面时某人用弹簧测力计称得某物体重32 N，站在升降机中，当升降机以加速度a＝g/2(g为地球表面处的重力加速度)竖直上升时，此人再一次用同一弹簧测力计称得同一物体重为18 N，忽略地球公转的影响，求升降机此时距地面的高度． 解析 设物体质量为m，在某高度处的重力加速度为g′，地球质量为M，半径为R，在地面F1＝mg① G＝mg② 在高h处F2－mg′＝ma③ G＝mg′④ 将F1＝32 N，F2＝18 N，a＝g/2，代入①③. 得g′＝ m/s2⑤ 由②④得＝()2⑥ 由⑤⑥得h＝3R＝1.92×107 m. 答案 1.92×107 m 14．天文学家将相距较近，仅在彼此引力作用下运行的两颗恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍，利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算双星系统的总质量．(引力常量为G) 解析 设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度均为ω，根据题意r1＋r2＝r. 每颗恒星做圆周运动的向心力都是由所受到的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律有＝m1ω2r1＝m1r1 ＝m2ω2r2＝m2r2 联立以上各式得r1＝ r2＝ m2＝ m1＝ 则m1＋m2＝(r1＋r2)＝()r＝. 答案 |
5
