第四节　宇宙航行

知识点归纳

知识点一、人造卫星

1．牛顿对人造卫星原理的描绘．

设想在高山上有一门大炮，水平发射炮弹，初速度越大，水平射程就越大．可以想象，当初速度足够大时，这颗炮弹将不会落到地面，将和月球一样成为地球的一颗人造地球卫星．

2．人造卫星绕地球运行的动力学原因．

人造卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供．

知识点二、宇宙速度

1．物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度．

2．近地卫星的轨道半径为：r＝R，万有引力提供向心力，则有＝.

从而第一宇宙速度为：v＝＝7.9km/s.

3．第二宇宙速度的大小为11.2 km/s．如果在地面附近发射飞行器，发射速度7.9 km/s<v<11.2 km/s；则它绕地面运行的轨迹是椭圆．

4．第三宇宙速度的大小为16.7 km/s，即若在地面附近发射一个物体，使物体能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，则必须使它的速度等于或大于第三宇宙速度．

知识点三、人造卫星的轨道的特点和卫星运行时的规律

1．卫星的轨道：卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道．

卫星绕地球沿椭圆轨道运行时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．

卫星绕地球沿圆轨道运行时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运行的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必须是卫星圆轨道的圆心．卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度，如图所示．

2．运行规律．

人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动．地球对卫星的万有引力提供向心力，设卫星的轨道半径为r，线速度大小为v，角速度为ω，周期为T，向心加速度为a.

其运动规律为G＝m＝mω²r＝mr＝ma

卫星的线速度v＝ ，即v∝ (r越大，v越小)

卫星的角速度ω＝ ，即ω∝(r越大，ω越小)

卫星的周期T＝2π ，即T∝(r越大，T越大)

卫星的加速度a＝，即a∝(r越大，a越小)．

3．卫星变轨．

在人造卫星的运行过程中，由中心天体对卫星的万有引力充当向心力．当万有引力恰好充当向心力时，卫星在原轨道上运动，若所需向心力大于或小于万有引力时，卫星就会脱离原轨道，发生变轨．

(1)当卫星速度变小时，由F向＝m知其绕行所需向心力减小，但万有引力提供的向心力不变，故卫星轨道半径减小．

(2)当卫星速度变大时，其绕行所需向心力增加，但万有引力提供的向心力不变，故卫星做离心运动，轨道半径增加．

知识点四、第一宇宙速度

1．第一宇宙速度的推导

方法一：卫星在地球表面附近运动时，r＝R(R为地球半径)由于向心力是由地球的万有引力提供，所以G＝m，v＝ ＝7.9 km/s；

方法二：在地面附近，重力等于万有引力，重力完全提供卫星做匀速圆周运动的向心力，mg＝m ，所以v＝＝7.9 km/s.

2．第一宇宙速度的意义

当卫星距地心的距离越远，由v＝可知，运动的速度越小，所以7.9 km/s是人造卫星环绕地球的最大运动速度，叫第一宇宙速度，也叫环绕速度．它是发射人造卫星所必须具备的最小速度

(1)如果卫星的速度小于第一宇宙速度，卫星将落到地面而不能绕地球运转；

(2)如果卫星的速度等于这个速度，卫星刚好能在地球表面附近做匀速圆周运动；

(3)如果卫星的速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，卫星将沿椭圆轨道绕地球运行，地心就成为椭圆轨道的一个焦点．

3．人造卫星的发射速度和绕行速度

(1)发射速度是指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度．卫星离地面越高，卫星的发射速度越大，贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度即第一宇宙速度．

(2)运行速度是指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．根据v＝可知，卫星越高，半径越大，卫星的运行速度(环绕速度)就越小．

知识点五、地球同步卫星

(1)运行方向一定：同步卫星的运行方向与地球的自转方向一致．

(2)周期一定：运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h；

(3)角速度一定：等于地球自转角速度．

(4)轨道平面一定：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内；

(5)高度一定：离地面高度为36 000 km；

(6)速率一定：运转速率均为3.1×103 m/s；

(7)向心加速度的大小一定：均约为0.23 m/s2.

典例分析

一、人造卫星的运动分析

例1 人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，关于其各物理量间的关系，下面说法正确的是(　　)

A．半径越大，速度越小，周期越小

B．半径越大，速度越小，周期越大

C．所有卫星的线速度均是相同的，与半径无关

D．所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关

解析 由G＝m＝mr＝mrω²得v＝ ，     T＝ ，W＝ ，可知r越大，v越小，T越大，故A、C错误，B正确，又r变化，ω也变化，故D错误．

答案 B

归纳总结：1．人造卫星运行时做匀速圆周运动，其运动所遵循的规律是F_万＝F_向，即G＝m＝mω²r＝mr＝ma_向．注意规律和公式的灵活应用，选择恰当的引力公式是解题的关键．

2．“黄金代换式”：在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即mg＝，gR²＝GM.

二、卫星的运动规律

例2 绕地球运行的人造地球卫星的质量、速率、卫星与地面间距离三者之间的关系是 (　　)

    A．质量越大，离地面越远，速率越小

    B．质量越大，离地面越远，速率越大

    C．与质量无关，离地面越近，速率越大

    D．与质量无关，离地面越近，速率越小

解析　对人造地球卫星，由万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，离地面越近，轨道半径r越小，线速度越大，与质量无关，故选C.

答案　C

归纳总结：对地球卫星要抓住以下特点

(1)万有引力提供向心力．

(2)轨道中心必须和地心重合．

(3)卫星的周期与地球自转周期不同，仅同步卫星有T_卫＝T_自＝24 h.

三、卫星运动的动能分析

例3 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r₁，后来变为r₂，r₂＜r₁.以E_k1、E_k2表示卫星在这两个轨道上的动能，T₁、T₂表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期．则(　　)

A．E_k2＜E_k1，T₂＜T₁　　　　B．E_k2＜E_k1，T₂＞T₁

C．E_k2＞E_k1，T₂＜T₁        D．E_k2＞E_k1，T₂＞T₁

解析　人造卫星的向心力来源于地球对卫星的吸引力．所以＝m＝mr，即Ek＝mv²＝，T＝ .当r减小时，Ek变大，T减小．故正确选项为C.

答案　C

自我检测

1．人造卫星环绕地球运转的速率v＝ ，其中g为地面处的重力加速度，R为地球半径，r为卫星离地球中心的距离．下列说法正确的是(　　)

A．从公式可见，环绕速度与轨道半径的平方根成反比

B．从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易

C．上面环绕速度的表达式是错误的

D．以上说法都错误

解析　＝m，所以v＝ ＝ ，所以A正确．式中v是环绕速度并非发射速度，所以B错误．

答案　A

2．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，该行星的第一宇宙速度约为(　　)

A．16 km/s　　　　　　　                            B．32 km/s

C．4 km/s                                                     D．2 km/s

解析　由＝，得v＝ ＝8 km/s

所以其第一宇宙速度v＝ ＝16 km/s

故A选项正确．

答案　A

3．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要使它的周期变成2T，可能的方法是(　　)

A．R不变，使线速度变为

B．v不变，使轨道半径变为2R

C．轨道半径变为R

D．无法实现

解析　人造卫星的线速度v、轨道半径R、周期T，一变俱变，故A、B选项错误；由＝mR，得T＝2π

则2T＝2π ，所以r＝R，故C选项正确．

答案　C

4．关于人造地球卫星，下列说法正确的是(已知地球半径为6 400 km)(　　)

A．运行的轨道半径越大，线速度也越大

B．运行的速率可能等于8.3 km/s

C．运行的轨道半径越大，周期也越大

D．运行的周期可能等于80min

解析　由＝得v＝ ，当r＝R_地时v有最大值约7.9 km/s，故A、B选项错误，C选项正确；卫星运行的最小周期T_min＝＝min＝85min，所以D选项错误．

答案　C

5．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/2，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的(　　)

A．向心加速度大小之比为4:1

B．角速度大小之比为2:1

C．周期之比为1:8

D．轨道半径之比为1:2

解析 变轨前后动能减小为原来的，则速度变为原来的，由G＝m知，变轨前后半径之比为1：4，故D错．由G＝ma＝mω²r＝mr可知C正确．

答案 C

6．下列关于同步通信卫星的说法中不正确的是(　　)

A．同步通信卫星和地球自转同步卫星的高度和速率都是确定的

B．同步通信卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择．高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步

C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114 min，比同步通信卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步卫星低

D．同步通信卫星的运行速率比我国发射的第一颗人造卫星的运行速率小

解析　同步通信卫星的周期与角速度跟地球自转的周期与角速度相同，为定值．由ω＝ 和h＝r－R知，卫星高度确定；由v＝ωr知，速率也确定，A正确，B错误；由T＝2π 知，第一颗人造卫星离地高度比同步卫星低，C正确；由v＝ 知，同步卫星比第一颗人造卫星运行速率小，D正确，故选B项．

答案　B

7．我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火箭成功地将第八颗北斗导航卫星送入太空轨道．北斗卫星导航定位系统将由五颗静止轨道卫星和三十颗非静止轨道卫星组成，三十颗非静止轨道卫星中有二十七颗是中轨道卫星，中轨道卫星平均分布在倾角为55°的三个平面上，轨道高度约为21 500 km，静止轨道卫星的高度约为36 000 km，地球半径约为6 400 km.已知 ≈0.53，下列关于北斗导航卫星的说法正确的是(　　)

A．静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星的大

B．静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度

C．中轨道卫星的周期约为12.7 h

D．地球赤道上随地球自转的物体的向心加速度比静止轨道卫星的大

解析　静止轨道的高度大于中轨道卫星的高度，卫星绕地球运转的向心加速度a_n＝，所以轨道半径越大向心加速度越小，选项A错误；第一宇宙速度是卫星绕地球运转的最大速度，选项B错误；由＝，可得T＝，静止卫星的周期T₁＝24 h，T₁＝ ，由轨道卫星的周期T₂＝ ，由以上两式得＝ ≈0.53，即T₂＝0.53T₁＝12.7 h，选项C正确；地球赤道上随地球自转的物体与静止卫星周期相同，由a_n＝r，可知轨道半径越大，向心加速度越大，故选项D错误．

答案　C

8．我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T₁＝12 h；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T₂＝24 h；两颗卫星相比(　　)

A．“风云一号”离地面较高

B．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大

C．“风云一号”线速度较大

D．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空

解析　因T₁<T₂由T＝ 可得r₁<r₂，A错；由于“风云一号”的轨道半径小，所以每一时刻可观察到地球表面的范围较小，B错；由v＝ 可得v₁>v₂，C正确；由于T₁＝12 h，T₂＝24 h，则需再经过24 h才能再次同时到达该小岛上空，D错．

答案　C

9．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的(　　)

A．g/a倍                                                      B.倍

C.倍                                               D.倍

解析　赤道上的物体随地球自转时：－F_N＝mωR＝ma，其中F_N＝mg要使赤道上的物体“飘起来”即变为近地卫星，则应F_N＝0，＝mRω′²，解得＝ ，故B选项正确．

答案　B

10．如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步圆轨道上的Q)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v₁，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v₂，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v₃，在同步轨道上的速率为v₄，三个轨道上运动的周期分别为T₁、T₂、T₃，则下列说法正确的是(　　)

  

A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速

B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速

C．T₁<T₂<T₃

D．v₂>v₁>v₄>v₃

解析　卫星在椭圆形轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需的向心力，即<m，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即＝，所以v₂>v₁，同理卫星在转移轨道上Q点做向心运动，可知v₃<v₄，又由于卫星线速度v＝，可知v₁>v₄，由以上所述可知D选项正确；由于轨道半径R₁<R₂<R₃，因开普勒第三定律＝

k(k为常量)得T₁<T₂<T₃，故C选项正确．

答案　CD

11．地球的两颗人造卫星质量之比m₁∶m₂＝1∶2，轨道半径之比r₁∶r₂＝1∶2.求：

(1)线速度之比．(2)角速度之比．(3)运行周期之比．(4)向心力之比．

解析　(1)a_向＝     ＝m，v＝ ，所以＝ ＝

(2)a_向＝ω²r

＝mω²r　ω＝ 所以＝ ＝

(3)＝＝＝

(4)同理＝＝·＝.

答案　(1)∶1　(2)2 ∶1　(3)1∶2 　(4)2∶1

12．一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知地球的第一宇宙速度为v₁＝7.9 km/s，求：

(1)这颗卫星运行的线速度为多大；

(2)它绕地球运动的向心加速度为多大；

(3)质量为1 kg的仪器放在卫星内的平台上，仪器的重力为多大，它对平台的压力有多大．

解析　(1)卫星近地运行时，有＝m卫星离地面的高度为R时，有＝m

由以上两式得v₂＝＝5.6 km/s.

(2)卫星离地面的高度为R时，有G＝ma

靠近地面时，有＝mg解得a＝g＝2.45m/s².

(3)在卫星内，仪器的重力等于地球对它的吸引力，

则G′＝mg′＝ma＝1×2.45 N＝2.45 N.

由于卫星内仪器的重力完全用于提供做圆周运动的向心力，仪器处于完全失重状态，所以仪器对平台的压力为零．

答案　(1)5.6 km/s   (2)2.45 km/s²    (3)2.45 N　0

13．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道上的日照条件下的地方全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面上的重力加速度为g，地球自转周期为T.

解析　侦察卫星环绕地球一周，通过有日照的赤道一次，在卫星的一个周期时间(设为T₁)内地球自转的角度为θ，只要θ角所对应的赤道弧长能被拍摄下来，则一天时间内，地面上赤道上在日照条件下的地方都能被拍摄下来．

设侦察卫星的周期为T₁，地球对卫星的万有引力为卫星做圆周运动的向心力，卫星的轨道半径r＝R＋h，根据牛顿第二定律，则

G＝m(R＋h)                    ①

在地球表面的物体重力近似等于地球的万有引力，即

mg＝G                               ②

①②联立解得侦察卫星的周期为T₁＝ ，已知地球自转周期为T，则卫星绕行一周，地球自转的角度为θ＝2π，摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为θ角所对应的圆周弧长，应为s＝θ·R＝2π·R＝· ＝ .

答案