第2节　万有引力定律

知识点归纳

知识点一、太阳对行星的引力

1．猜想与简化模型．

太阳对行星的引力F应该和行星到太阳的距离r有关，距离越远，引力越小．牛顿运动定律揭示了运动和力的关系，如果我们把行星的轨道作为圆轨道来处理，如图所示，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力．这样，我们可以用向心力公式来推导F和r的定量关系．

2．太阳对行星的引力规律的推导．

(1)设行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星所需向心力为F＝.

(2)天文观测难以直接得到行星的速度v，但可得到行星的公转周期T，则v＝.

将v的表达式代入上面的向心力表达式得F＝.

由开普勒第三定律得F＝4π2k·.

(3)结论：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝.

知识点二、太阳与行星的相互作用

1．行星对太阳的引力的规律：行星对太阳的引力F′与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离r的二次方成反比，即：F′∝.

2．太阳与行星间的引力：由于F∝、F′∝，又F和F′大小相等，故可得F∝，写成等式为F＝G ，式中G是比例系数．太阳与行星间引力的方向沿着两者质心的连线方向．

知识点三、太阳与行星间引力的关系的推导

假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力，设地球的质量为m，运动速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M，则由匀速圆周运动的规律可知

F＝①   v＝②     由①②式得F＝③

又由开普勒第三定律T²＝ ④    由③④式得F＝4kπ² ⑤   即F∝ ⑥

这表明：太阳对不同行星的引力跟行星质量成正比，跟行星与太阳的距离的平方成反比，根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝F.即F′∝ ⑦

比较⑥⑦式不难看出F∝，写成等式F＝G，式中G是比例系数，与太阳、行星无关．

知识点四、物理中常用的思想方法

1.理想化模型法： 在研究物理问题时，忽略次要因素，关注主要因素，根据实际物体或实际过程抽象出来理想化模型，是物理中常用的一种方法，前面接触的质点、匀速直线运动等都是理想化模型．

2．类比法：  由一类事物所具有的某种属性，推测出与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法．在引入一些十分抽象的看不见、摸不着的物理量时，经常用到类比法．

3．等效法：  在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易处理的问题的一种方法．等效法可分为等效原理、等效概念、等效方法、等效过程等．

4．控制变量法：  物理中对于多因素的问题，常常采用控制因素的方法，把多因素的问题变成多个单因素的问题．每一次只改变其中的某一个因素，而控制其余几个因素不变，从而研究被改变的这个因素对问题的影响．

知识点五、月—地检验

1．检验目的：月地间的引力与物体和地球间的引力是否为同一种性质的力，是否遵从“平方反比”的规律．

2．检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，则在月球轨道上的物体受到的引力是它在地球表面的引力的．根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动的加速度应该是它在地球表面附近下落时的加速度的．根据已知r月，T月，地球表面的重力加速度g.计算对比两个加速度，分析验证两个力是否为同一性质力．

3．结论：地面物体受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星的引力，遵从相同的规律．

知识点六、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．

2．公式：F＝.式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N.G是比例系数，叫做引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

3．引力常量．

万有引力定律公式F＝G中的G为引力常量，它是一个与任何物体的性质都无关的普适常量，由英国物理学家卡文迪许利用扭秤测定出来．

万有引力定律的几个特性.

2.适用条件：万有引力公式适用于计算质点间相互作用的引力的大小，r为两质点间的距离，常见情况如下：

(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两球心间的距离．

(2)一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力，其中r为球心到质点间的距离．

(3)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，其中r为两物体质心间的距离．

知识点七、重力和万有引力的区别和联系

1．在地面附近

(1)如图所示，处于地面上的物体m，由于地球的自转，物体将绕地轴OO′做匀速圆周运动，则万有引力的一个分力提供物体做匀速圆周运动的向心力mω2r，它的另一个分力就是物体的重力mg.因此mg不等于万有引力．只有在南北两极点，由于物体并不随地球自转，重力才与万有引力相等．

(2)重力方向除在两极和赤道之外均不指向地心，即处于地面上的物体，其万有引力是物体随地球做匀速圆周运动的向心力和重力的合力．

(3)由于向心力F向＝mω2r很小，因此在一般的计算中，可认为万有引力等于重力，即 G＝mg.

2．绕地球做圆周运动

此时物体不再绕地轴做圆周运动，而是绕地心做圆周运动．

物体只受一个力的作用，即万有引力，如图所示，也就是重力，故该情况下万有引力完全等于重力(包括大小和方向)，即G＝mg.

3．不同位置处的重力加速度

(1)物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力大小不同，故同一物体在地球上不同纬度处重力大小不同，重力随纬度的增大而增大．

在赤道上，物体所受重力最小，其大小为万有引力与向心力之差，即mg＝G－mω²R，其中ω为地球自转角速度，R为地球半径．在两极，物体的向心力F向＝0，其所受重力最大，mg＝G.

(2)物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mg′＝G，g′＝，其中h为物体到地球表面的距离．由于地球表面的重力加速度为g＝，则g′＝g.

典例分析

一、太阳对行星的引力提供向心力

例1 两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2.若它们只受太阳的引力作用，那么这两个行星的向心加速度之比为(　　)

A．1　　  B.      C.      D.²

解析 设两个质量分别为m1、m2的行星的向心力分别是F1、F2，由太阳与行星之间的作用规律可得而a₁＝，a₂＝，故＝².

答案 D

二、万有引力定律的理解

例2  牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律．在创建万有引力定律的过程中，牛顿(　　)

A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想

B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论

C．根据F∝m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F∝m1m2

D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小

解析　在创建万有引力定律的过程中，牛顿接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论，而提出万有引力定律．后来卡文迪许利用扭秤测量出万有引力常量G的大小，C项是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有A、B.

答案　AB

归纳总结：万有引力定律适用范围是质点间的相互作用，r是质点间的距离，遵从牛顿第三定律.

三、重力加速度问题

例3  宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需要经过时间5t落回原处．(取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力)

(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.

(2)已知该星球的半径与地球半径之比＝，求该星球的质量与地球的质量之比.

解析　(1)设以初速度v₀竖直上抛小球，在地球表面经过时间t小球落回原处，由运动学公式得t＝①

同理，在某星球表面以相同的初速度v₀竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则有5t＝，联立以上两式得g′＝g＝2 m/s².

(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg＝G②

所以M＝，由此得＝＝×＝.

答案　(1)2 m/s²　(2)

归纳总结：通常情况下，我们所研究的物体都在地面上或离地面的高度远小于地球的半径，不管这些物体是处于何种运动状态，我们都可以认为万有引力与重力相等．但有两种情况必须加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况.

四、万有引力定律的综合应用

例4  如图所示，操场两边放着半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2的篮球和足球，二者的间距为r.则两球间的万有引力大小为(　　)

A．G 

B．G

C．G 

D．G

解析　万有引力定律的数学表达式为F＝G.此定律的适用条件是：质量为m₁和m₂的两个物体必须是质点，或者是可视为质点的两个物体．因此，公式中的r为两个质点间的距离．操场两边的篮球和足球是两个规则球体，这两球间的距离为两球心间的距离，即为r₁＋r＋r₂，所以两球间的万有引力大小为F＝G.故选D.

答案　D

归纳总结：应用万有引力定律与其他知识相联系的综合问题，要明确运动过程，选择相应的规律，确定各量间的关系.

自我检测

1．太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小(　　)

A．与行星距太阳的距离成正比

B．与行星距太阳的距离成反比

C．与行星运动的速率的平方成正比

D．与行星距太阳的距离的平方成反比

解析　由引力公式F＝G知A、B、C错误，D正确．

答案　D

2．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球运动的周期之比可求得(　　)

A．火星和地球的质量之比

B．火星和太阳的质量之比

C．火星和地球到太阳的距离之比

D．火星和地球绕太阳运行的速度大小之比

解析　由＝　T²＝　＝

由此式可知C选项正确．由＝m，得v²＝由此式可知D选项正确．

答案　CD

3．要使两物体间的引力减小到原来的，下列方法可行的是(　　)

A．两物体的距离不变，质量各减小为原来的一半

B．两物体的距离变为原来的2倍，质量各减为原来的一半

C．两物体的质量变为原来的一半，距离也减为原来的一半

D．两物体的质量都变为原来的2倍，距离不变

解析　由万有引力公式F＝G可得r不变，M、m各减小一半后，其引力F变为原来的，A项正确；r变为原来的2倍，M、m减为原来的一半，其引力将变为原来的；M、m、r都变为原来的一半，F将不变；r不变，M、m变为原来的2倍，则引力变为原来的4倍．本题考查到对万有引力公式的理解，是与两物体质量的“乘积”成正比，与两物体距离的“二次方”成反比．

答案　A

4．把行星的运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T²＝，则推得(　　)

A．太阳对行星的引力为F＝k

B．太阳对行星的引力都相同

C．太阳对行星的引力为F＝

D．质量越大的行星，太阳对它的引力一定越大

解析　太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则F＝m，又v＝，结合T²＝可得出F的表达式为F＝，则得知F与m、r都有关系，故选项A、B、D错误，选项C正确．

答案　C

5．如图所示，M、N为两个完全相同的质量分布均匀的小球，AB为MN连线的中垂线，有一质量为m的小球从MN连线的中点O沿OA方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是(　　)

A．一直增大                    B．一直减小

C．先减小、后增大              D．先增大、后减小

解析　质量为m的物体在O点时，受到的万有引力为零，沿OA方向到无穷远处也为零，但其间不为零，因此，物体m受到的万有引力变化情况是先增大后减小，故D正确．

答案　D

6．一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比(　　)

A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍

B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍

C．该星球的平均密度增大到原来的16倍

D．该星球的平均密度增大到原来的64倍

解析　根据万有引力公式F＝可知，当星球的直径缩到原来的四分之一，在星球表面的物体受到的重力F′＝＝16，故选项B正确；星球的平均密度ρ＝＝.星球收缩后ρ′＝＝64ρ，故选项D正确．

答案　BD

7．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(　　)

A．0.25倍  B．0.5倍  C．2.0倍  D．4.0倍

解析　F_引′＝＝＝2＝2F_引．

答案　C

8．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)

A.                                                               B.

C.                                                             D.

解析　利用填补法来分析此题原来物体间的万有引力为F，挖去半径为的球的质量为原来球的质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－＝F.

答案　C

9．火星的质量和半径分别为地球的和.地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)

A．0.2g                                                        B．0.4g

C．2.5g                                                         D．5g

解析　星球表面的重力加速度为g＝，由此可知火星表面重力加速度为g′＝＝＝·＝0.4 g.

答案　B

10．某人造地球卫星质量为m，绕地球运动的轨迹为椭圆．已知它在近地点距地面高度为h₁，速度为v₁，加速度为a₁；在远地点距地面高度为h₂，速度为v₂.已知地球半径为R，求该卫星在远地点的加速度a₂.

解析　设地球的质量为M，则由牛顿第二定律得

近地点＝ma₁

远地点＝ma₂

解得a₂＝

答案　a₁

11．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R_地＝6.4 ×10³ km，g＝10m/s²)

解析　卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面为h，这时受到地球的万有引力为F＝G      ①

在地球表面G＝mg                                    ②

在上升到离地面h时，由牛顿第二定律得

F_N－G＝ma                                        ③

由②③两式得＝，

h＝R_地                                                                    ④

将m＝16 kg，F_N＝90 N，a＝g＝5m/s²，

R_地＝6.4×10³ km代入④得h＝1.92×10⁴ km.

答案　1.92×10⁴ km

12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s²，空气阻力不计)

(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；

(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R_星:R_地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M_星:M_地．

解析　本题考查了星体表面的抛物运动及万有引力与其表面重力的关系．

(1)在地球表面t＝                      ①

在某星球表面5t＝                     ②

由①②联立可解得

g′＝g＝×10m/s²＝2m/s².

(2)设m为物体质量，则对星球表面的物体＝mg′   ③

对地球表面的物体＝mg                         ④

由③④联立可解得

＝·＝×＝1:80.

答案　(1)2m/s²    (2)1:80