第4节 生活中的圆周运动知识点归纳 知识点一、铁路的弯道 1．火车转弯时的运动特点：火车转弯时做的是圆周运动，因而具有向心加速度，需要向心力． 2．向心力的来源：转弯处外轨略高于内轨，适当选择内外轨的高度差，可使转弯时所需的向心力几乎完全由重力与支持力的合力来提供． 3．火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘,火车在铁轨上运行时,车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面,这种结构特点,主要是避免火车运行时脱轨,如图所示。
4．圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨,但火车在行驶过程中,重心高度不变,即火车的重心轨迹在同一水平面内,火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。 5．向心力的来源分析：火车速度合适时,火车受重力和支持力作用,火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供,合力沿水平方向,大小F=mgtanθ。
6．规定速度分析：火车转弯时，重力mg和支持力FN的合力提供其所需要的向心力，即mgtan θ＝m，解得v0＝，因此，在转弯处轨道确定的情况下，火车转弯时的速度应是一个确定的值v0，以这个特定值行驶时，轮缘与内、外轨间不相互挤压，这个速度通常叫做转弯处的规定速度． 7．轨道压力分析： (1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时,所需向心力仅由重力和弹力的合力提供,此时火车对内外轨道无挤压作用。 (2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时,火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供,此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用,具体情况如下。 ①当火车行驶速度v>v0时,外轨道对轮缘有侧压力。 ②当火车行驶速度v<v0时,内轨道对轮缘有侧压力。 知识点二、拱形桥 汽车以速度v过半径R的凸形(或凹形)桥时受力如图所示，在最高点(或最低点)处，由重力和支持力的合力提供向心力．
1．在凸形桥上，速度越大，FN越小，向心力越大； 2．在凹形桥上，速度越大，FN越大，向心力越大． 3．汽车过拱桥：如汽车过拱桥顶时向心力完全由重力提供(支持力为零)，则据向心力公式Fn＝mg＝m得，v＝(R为圆周半径)，故汽车是否受拱桥顶作用力的临界条件为： v临＝，此时汽车与拱桥顶无作用力． (1)当v<v临时，mg<m，车受到桥顶的支持力FN，mg－FN＝m，∴FN＝mg－m. (2)当v＝v临时，mg＝m，车不受桥顶的支持力FN，FN＝0. (3)当v>v临时，mg<m，mg不足以提供车做圆周运动的向心力，不仅车与桥之间无作用力，而且车将作离心运动，沿速度方向飞离桥面． (4)当v＝0时，车静止在桥顶上，桥对汽车的支持力FN＝mg. 4．汽车过凹桥最低点时：当汽车过凹桥最低点时，汽车的支持力和重力的合力提供向心力，则：FN－mg＝m， FN＝mg＋m，支持力一定大于重力mg. 汽车对桥的压力的区别如下表所示.
知识点三、航天器中的失重现象 1．航天器中物体的向心力：向心力由物体的重力G和航天器的支持力FN提供，即G－FN＝ 2．当航天器做匀速圆周运动时，FN＝0，此时航天器及其内部物体均处于完全失重状态． 知识点四、离心运动 做圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动． 1．向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动．此时，F＝mrω2. 2．如果向心力突然消失(例如小球转动时绳子突然断开)，则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向(即切线方向)按此时的速度大小飞出，这时F＝0. 3．如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条线，如右图所示．这时，F<mrω2.
总结：设做匀速圆周运动的物体的质量为m，转动的角速度为Ws转动半径为r，物体做匀速圆周运动所需的向心力为F向＝mrω2，物体所受的合外力为F合，如图所示． (1)当F合＝mrω2或F合＝m (2)当F合<mrω2或F合<m (3)当F合>mrω2或F合>m (4)当F合＝0时，物体沿切线方向飞出，其轨迹为直线． 知识点五、竖直平面内圆周运动的两类模型 1．绳和内轨道模型
(1)最高点最小速度 如图所示，小球到达最高点时受到绳子的拉力或轨道的支持力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供的． 根据牛顿第二定律得，mg＝m，即v临界＝. 这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度． (2 当v>时，小球能通过最高点，这时绳子或轨道对球有作用力，为拉力或支持力． 当v＝时，小球刚好能通过最高点，此时绳子或轨道对球不产生作用力． (3)小球不能通过最高点的条件 当v<时，小球不能通过最高点．实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道． (4)最低点对绳有最大拉力，对轨道有最大压力 FT－mg＝或FN－mg＝即FT＝mg＋或FN＝mg＋ 根据牛顿第三定律可确定小球对绳的拉力和对轨道的压力． 2．细杆和管形轨道模型 (1)最高点最小速度 如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时物体受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况 ①v>，杆或管的外侧产生向下的拉力或压力． ②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力 ③0<v<，杆或管的内侧产生向上的支持力 典例分析 一、火车转弯问题
A．sin θ＝ B．tan θ＝ C．sin 2θ＝ D．cot θ＝ 解析 当车轮与路面的横向摩擦力等于零时，汽车受力如图所示，
则有：FNsin θ＝m，FNcos θ＝mg， 解得：tan θ＝，故B正确． 答案 B 归纳总结：1．火车在转弯处做匀速圆周运动，重力和支持力的合力恰好提供向心力时，轨道无侧压力． 2．由于内、外轨高度差很小，存在近似条件. 二、关于汽车过桥的问题
(1)汽车允许的最大速度是多少？ (2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2) 解析 (1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得： FN－mg＝m代入数据解得v＝10 m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得： mg－FN′＝ 代入数据解得FN′＝105 N 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N. 答案 (1)10 m/s (2)105 N 归纳总结：对于汽车过桥问题的分析，关键是抓住汽车在凸形桥最高点或凹形桥最低点时的受力特点，考虑到汽车的实际情况，应用向心力的有关知识来解决过程中的具体问题． 三、竖直面内的圆周运动
A．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力 D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动 解析 由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向心力，有FT－mg＝F向，FT＝mg＋F向>mg，B正确． 答案 B 归纳总结：解答竖直面内圆周运动问题时，首先要分清是绳模型还是杆模型，在最高点时，绳模型的临界条件是F向＝mg＝m，即v＝是临界速度；杆模型的临界条件是v＝0.再应用牛顿第二定律F向＝m列式求解. 自我检测 1．铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于 ，则( ) A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压
C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压
解析 当v＝ 时，铁轨与轮缘间无挤压；当v> 时，火车需要更大的向心力，所以挤压外轨． 答案 A 2．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应( ) A．以尽可能小的速度通过桥顶 B．增大速度通过桥顶 C．以任何速度匀速通过桥顶 D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小 解析 在桥顶时汽车受力mg－FN＝m，得FN＝mg－m. 由此可知线速度越大，汽车在桥顶受到的支持力越小，即车对桥的压力越小． 答案 B 3．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．下列说法正确的是( ) A．Ff甲小于Ff乙 B．Ff甲等于Ff乙 C．Ff甲大于Ff乙 D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关 解析 由于摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，由Ff＝得在速率一定的情况下，半径越大，向心力越小，r甲>r乙，即Ff甲<Ff乙． 答案 A 4．下列哪些现象是为了防止物体产生离心运动( ) A．汽车转弯时要限制速度 B．转速很高的砂轮半径不能做得太大 C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨 D．离心泵工作时 解析 汽车转弯时速度越大，则汽车所需的向心力越大，如果速度过大，则汽车所需向心力不足，汽车将发生侧滑，容易出现事故，所以汽车转弯时要限制速度；转速很高的砂轮如果半径很大，则在高速转动时，边缘部分需要的向心力就非常大，有可能导致砂轮解体，发生危险事故，故B选项正确；铁路转弯处的内侧铁轨低于外侧铁轨，是为了保障火车转弯时可提供足够大的向心力，防止火车出轨的事故发生，故选项C正确；离心泵工作时是利用了离心运动． 答案 ABC 5．一汽车通过拱形桥顶点时的速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( ) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 解析 当FN＝G时，因为G－FN＝m，所以G＝m，当FN＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s. 答案 B 6．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( ) A．v＝k B．v≤ C．v≤ D．v≤ 解析 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m.∴v≤. 答案 B 7．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(假定汽车运动速率va＝vc，vb＝vd)( )
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 解析 因为匀速圆周运动的向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，故在a、c两点FN＝G－m<G，不容易发生爆 答案 D 8．铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于，则( ) A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压 B．铁轨与轮缘间无挤压 C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压 D．内外侧铁轨与轮缘间均有挤压 解析 当v＝时，铁轨与轮缘间无挤压，当v>时，火车需要更大的向心力，所以挤压外轨． 答案 A 9．质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速度变为，则两位置处绳子所受的张力之差是( ) A．6mg B．5mg C．4mg D．2mg 解析 最高点mg＋F1＝m，最低点F2－mg＝，所以F2－F1＝6mg. 答案 A 10．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( ) A．可以用天平测量飞船内物体的质量 B．可以用水银气压计测舱内气压 C．可以用弹簧测力计测拉力 D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球引力 解析 因为飞船内的物体处于完全失重状态，故放在天平上的物体对天平没有压力．因此，用天平不能称出物体的质量；水银气压计中水银柱也不会产生压力，故水银气压计无法测量气压；挂在弹簧测力计上的物体也不会对弹簧产生拉力，无论挂多重的物体，弹簧测力计的示数皆为零，但地球表面及其附近的物体都受重力，故A、B选项错误，D选项正确；弹簧测力计是根据胡克定律制成的．拉力的大小跟弹簧的伸长量成正比，故C选项正确． 答案 CD 11．如下图所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F( )
A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于零 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零 解析 本题考查刚性杆支撑球在竖直面内运动的基本规律．球通过最高点的条件是v>0. 情况(1)当球通过最高点，拉力为零时，有mg＝⇒v＝； (2)当0<v<时，此时F为推力，mg－F＝； (3)当v>时，此时F为拉力，F＋mg＝， 故选项D正确． 答案 D 12．如图所示是离心试验器的原理图，可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人体的抗荷能力．离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角，被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
解析 被测试者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持力的合力提供，如右图所示．
在竖直方向受力平衡，有 FNsin 30°＝mg① 在水平方向，由牛顿第二定律得 FNcos 30°＝mrω2② 由①式可得FN＝＝2mg 即被测试者对座位的压力是其重力的2倍. 答案 2倍 13．一根水平硬质杆以恒定角速度ω绕竖直轴OO′转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球间以劲度系数为k的轻弹簧连接，弹簧原长为L0，靠近转轴的A球与轴之间也用同样弹簧与轴相连，如图所示，求每根弹簧的长度．
解析 设左右弹簧分别伸长x1与x2，则对A球有kx1－kx2＝mω2L1， 对B球有kx2＝mω2(L1＋L2)，又有L1＝L0＋x1，L2＝L0＋x2. 联立以上各式，解得L1＝，L2＝. 答案 L1＝，L2＝. 14．如图所示，有一绳长为L，上端固定在滚轴A的轴上，下端挂一质量为m的物体，现滚轮和物体一起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定的挡板B，突然停止的瞬间，绳子的拉力为多大？
解析 当滚轮碰到固定挡板突然停止时，物体m的速度仍为v，绳子对物体的拉力突然变化，与重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得F－mg＝，解得F＝＋mg.答案 ＋mg 15．如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到圆盘转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm.A、B与盘面的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求(g＝10 m/s2)：
(1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度； (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度； (3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B所处的状态怎样？ 解析 (1)由于rB>rA，当圆盘以角速度ω转动时，物体B所需向心力大，当ω增大到一定值时，细线开始被拉紧产生张力，因此，由向心力公式kmg＝mωrB ω1＝＝rad/s＝3.65 rad/s (2)当A开始滑动时，对B满足kmg＋F＝mωrB 对A满足kmg－F＝mωrA 联立得ω2＝ ＝ rad/s＝4 rad/s (3)当A即将滑动时，将细线烧断，F突然消失，对B来说kmg<FBN，对A来说kmg>FAN，由此可知B将做离心运动，A仍随圆盘做匀速圆周运动． 答案 (1)3.65 rad/s (2)4 rad/s (3)见解析 |
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B
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