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第二章 章末总结 要点归纳知识点一、匀变速直线运动问题的求解方法 1．基本公式 2．推论式 3．注意问题 (1)要养成画物体运动示意图或利用v－t图象的习惯．特别是较复杂的运动，画图或利用v－t图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析研究． (2)要注意分析研究对象的运动过程，弄清整个运动过程按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系． (3)由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案．解题时除采用常规的公式解析法外，对称法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动) 知识点二、纸带问题的分析 1．判断物体的运动性质 (1)根据匀速直线运动特点x＝vt，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动． (2)由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动． 2．求加速度 (1)逐差法： 虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δx时，偶然误差太大，为此应采取逐差法．
图1 如图1所示，纸带上有六个连续相等的时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，由Δx＝aT2可得： x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2 x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2 x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2 所以a＝ ＝ 由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差．所以利用纸带计算加速度时，应使用逐差法． (2)v－t图象法： 利用匀变速直线运动的一段时间内的平均速度等于中间时刻的速度的推论，求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3……vn，建立一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为v，把求出的各时刻的速度值进行描点，然后画一条直线，并使该直线尽可能多的通过所描各点，或使各点均匀地分布在直线两侧．求出该v－t图线的斜率k，则k＝a. 这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，因此它的偶然误差较小． 知识点三、两种图象的比较 由于图象能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，所以在解题过程中被广泛应用．在运动学中，经常用到的有x－t图象和v－t图象．但提醒注意的是，两种图象都不是物体运动的轨迹． 1．x－t图象 用纵轴表示位移，横轴表示时间，根据描点作出的图线，描述的是做直线运动的物体位移随时间变化的规律．图象上某点的切线斜率表示该时刻物体的速度，斜率的大小，表示速度的大小；斜率为正值表示物体沿规定的正方向运动，斜率为负值，表示物体沿规定正方向的反方向运动． 2．v－t图象 描述做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图线上某点的切线斜率表示该时刻物体的加速度；某段时间图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小． 3．x－t图象与v－t图象的比较 形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理规律不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵轴、横轴所表示的是什么物理量． 下表是形状一样的各图线在x－t图象与v－t图象中的物理意义的比较.
知识点四、追及和相遇问题 1．特征：两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置． 2．追及和相遇问题的几种情况 (1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体 肯定能追上，且只能相遇一次．两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀． (2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体 ①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离； ②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件； ③若当两者到达同一位置时有v减>v匀，则有两次相遇的机会． (3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体 ①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离； ②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次； ③若当两者到达同一位置时v加<v匀，则有两次相遇的机会． 注意 同向运动的两物体追及即相遇，若两物体做相向运动，相遇的条件是两物体开始运动时的距离等于它们的位移大小之和． 3．解题思路 (1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图． (2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中． (3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键． (4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．
大致分为两种：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列方程求解；二是数学方法，因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，有时也可借助v－t图象进行分析． (6)追及问题中的“一个条件”、“两个关系” ①一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等． ②两个关系：时间关系和位移关系． 时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处． 典例分析 一、平均速度公式的巧用
解析 若考虑速度的矢量性来仔细分析“1 s后速度的大小变为10 m/s”这个条件，可知1 s后物体速度方向可能与原速度方向相同或相反．若规定初速度v0的方向为正方向，则1 s后物体速度可能是10 m/s，也可能是－10 m/s，因而有两组解． 同向时：a1＝＝ m/s2＝6 m/s2， x1＝ t＝t＝ m＝7 m. 反向时：a2＝＝ m/s2＝－14 m/s2， x2＝ t＝t＝ m＝－3 m. 式中负号表示方向与规定正方向相反． 答案 a＝6 m/s2 x＝7 m或a＝－14 m/s2 x＝－3 m 二、利用纸带分析物体的运动
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，填入表内．(单位：cm)
各位移差与平均值最多相差________cm，即各位移差与平均值最多相差________%.由此可得出结论：小车在________的位移之差，在________范围内相等，所以小车的运动是________． (2)根据a＝，可以求出：a1＝＝______m/s2，a2＝＝________m/s2，a3＝＝________m/s2，所以a＝＝________m/s2. 解析 (1)x2－x1＝1.60 cm；x3－x2＝1.55 cm；x4－x3＝1.62 cm；x5－x4＝1.53 cm；x6－x5＝1.61 cm；Δx＝1.58 cm.各位移差与平均值最多相差0.05 cm，即各位移差与平均值最多相差3.3%.由此可得出结论：小车在任意两个连续相等的时间内的位移之差，在误差允许范围内相等，所以小车的运动是匀加速直线运动． (2)采用逐差法，即a1＝＝1.59 m/s2， a2＝≈1.57 m/s2，a3＝≈1.59 m/s2， a＝＝≈1.58 m/s2. 答案 见解析 三、v－t图象的理解及应用
A．0～1 s内的平均速度是2 m/s B．0～2 s内的位移大小是3 m C．0～1 s内的加速度的大小大于2～4 s内的加速度的大小 D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反 解析 0～1 s的位移x1＝×2×1 m＝1 m，故1 s内平均速度＝ ＝m/s＝1 m/s.A项错；0～2 s内位移为0～1 s 内的位移与1～2 s内位移之和，1～2 s内位移x2＝2×1 m＝2 m，故0～2 s内位移为x1＋x2＝3 m，B项正确.0～1 s 内加速度a1＝＝ m/s2＝2 m/s2,2～4 s内的加速度a2＝＝ m/s2＝－1 m/s2，故a1＞a2，C项正确.0～1 s内和2～4 s内的速度方向均为正向，故D项错误． 答案 BC 四、追及和相遇问题
(1)汽车追上自行车前的最远距离为多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度多大？ 解析 法一 物理分析的方法 (1)汽车“追赶”自行车，它们的间距先增后减，当二者速度相同时，间距最大．设二者速度相同，均为6 m/s，所经过的时间为t1，则at1＝v自，t1＝＝ s＝2 s．最大间距Δxm＝v自t1－at＝ m＝6 m. (2)追上时间为t2，则v自t2＝at，即6t2＝×3×t， t2＝4 s，此时汽车速度v2＝at2＝12 m/s. 法二 数学的方法 (1)经过时间t，二者间距为 Δx＝v自 t－at2＝6t－×3×t2＝－(t－2)2＋6， 当t＝2 s时，间距最大，Δxm＝6 m. (2)追上时解法同法一． 答案 (1)6 m (2)4 s 12 m/s 归纳总结“速度相等”是追及、相遇问题的重要条件，此时常伴有距离“最大”、“最小”，或恰好“追上”、“追不上”等临界用语．
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