第4节　自由落体运动

知识点归纳

知识点一、自由落体运动

1．定义：物体只在重力作用下从静止开始的下落运动．

2．运动性质：初速度为零的匀加速直线运动．

3．特点

(1)初速度为零．

(2)受力特点：只受重力作用，无空气阻力或空气阻力可以忽略不计．

(3)加速度就是重力加速度，a＝g，大小不变，方向竖直向下．

(4)运动特点：是初速度为零的匀加速直线运动．

知识点二、自由落体加速度

1．定义：在同一地点，物体做自由落体运动的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度．

2．方向：竖直向下的．

3．大小：在地球上的不同地方，自由落体加速度的大小略有不同．在地球表面上，从赤道到两极，自由落体的加速度逐渐增大，在赤道上最小，为9.780 m/s²；在两极最大，为9.832 m/s².在地球上同一地方的不同高度上，自由落体加速度的大小也略有不同，随高度的升高，重力加速度逐渐减小，但在高度相差不太大时，不需要考虑重力加速度的微小差异．

知识点三、自由落体运动的规律

(1)速度公式：v＝gt.

(2)位移公式：x＝gt².

(3)速度位移关系式：v²＝2gx.

(4)连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT².

(5)平均速度：＝.

(6)若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有如下比例关系

①T末、2T末、3T末……瞬时速度之比v₁∶v₂∶v₃∶……＝1∶2∶3∶……

②T内、2T末内、3T内……位移之比x₁∶x₂∶x₃∶……＝1∶4∶9∶……

③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比x_Ⅰ∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ∶……＝1∶3∶5∶……

(7)若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系

①连续相等的位移末的瞬时速度v₁∶v₂∶v₃∶……＝1∶∶∶……

推证：由v²－v＝2ax可直接得到．

②通过连续相等的位移所用时间之比t₁∶t₂∶t₃∶……＝1∶(－1)∶(－)∶……

典例分析

一、对自由落体运动的理解

例1 关于自由落体运动，下列说法中正确的是(　　)

A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动

B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动

C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等

D．自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动

解析　A选项中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动；选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B不对．选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等；选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的．

答案　CD

归纳总结：(1)自由落体运动是一种理想化模型，当自由下落的物体受到的空气阻力远小于重力时才做自由落体运动，如空气中由静止释放的铁块．

(2)物体做自由落体运动的条件：①初速度为零；②仅受重力作用．

(3)判断一个物体是否做自由落体运动，一定要看它是否满足自由落体运动的条件.

二、自由落体运动规律的应用

例2 从离地500 m的空中由静止开始自由落下一个小球，取g＝10 m/s²，求：

(1)经过多少时间落到地面；(2)从开始落下的时刻起，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移；(3)落下一半时间的位移；(4)落地时小球的速度．

解析　(1)由h＝gt²，得落地时间t＝＝ s＝10 s

(2)第1 s内的位移h₁＝gt＝×10×1² m＝5 m

因为从开始运动起前9 s内的位移为h₉＝gt＝×10×9² m＝405 m

所以最后1 s内的位移为h₁₀＝h－h₉＝500 m－405 m＝95 m

(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移为h₅＝gt′²＝×10×25 m＝125 m

(4)设落地时速度为v，由公式v²＝2gh

v＝＝ m/s＝100 m/s

答案　(1)10 s　(2)5 m　95 m　(3)125 m　(4)100 m/s

归纳总结：(1)自由落体运动是一种初速度为零、加速度为g的匀变速直线运动，在分析自由落体运动时，要注意灵活运用匀变速直线运动的有关规律和推论．

(2)求解第n秒内的位移时，应为Δh_n＝h_n－h_n－1，有些同学往往误解为Δh_n＝h_n.

自我检测

1.一个铁钉和一团棉花团同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为(　　)

A．铁钉比棉花团重

B．棉花团受到的空气阻力不能忽略

C．铁钉不受空气阻力

D．铁钉的重力加速度比棉花团的大

答案　B

2．甲物体的重力是乙物体重力的3倍，它们在同一高度处同时自由下落，则下列说法正确的是(　　)

A．甲比乙先着地

B．甲比乙的加速度大

C．甲、乙同时着地

D．无法确定谁先着地

解析 自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，产生自由落体的条件是：初速度为零，只受重力作用。其运动性质与物体的质量无关，只要从同一高度同时开始运动，它们就一定同时落地。所以，本题的正确选项为C。

答案 C

3．唐代大诗人李白用“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”描述了庐山瀑布的美景．

(1)以三尺为1 m，可估算出水落到地面的速度为(　　)

A．100 m/s                              B．140 m/s 

C．200 m/s                              D．1 000 m/s

(2)下落一千尺和三千尺时的速度之比为(　　)

A．1∶1                                 B．1∶ 

C．1∶3                                 D．1∶9

解析　把瀑布的下落看成自由落体运动，三千尺换算成1 000 m，g取10 m/s²，由速度与位移的关系得v＝＝ m/s≈140 m/s.

下落一千尺和三千尺的速度之比为＝ ＝ ＝

这样算出的速度值是不计阻力的理想情况．实际上由于空气阻力的存在，从很高处落下的水滴随着速度的增大，阻力迅速增大，最后将以一个稳定的速度下落，到达地面时的速度并不大．

答案　(1)B　(2)B

4．关于自由落体运动，以下说法正确的是(　　)

A．自由落体运动是v₀＝0的变加速直线运动

B．满足x₁∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ∶…＝1∶3∶5∶…的运动一定是自由落体运动

C．自由落体运动自开始下落的相等时间的位移一定满足x₁∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ∶…＝1∶3∶5∶…

D．质量大的物体自由落体的加速度大

解析 自由落体运动是匀加速直线运动，所以A错误。满足B叙述规律的运动是初速度为零的匀加速直线运动，但并非一定是自由落体运动，所以B错误。在同一地点，自由落体的加速度是恒定的，与物体的质量无关，所以D错误，只有C正确。

答案 C

5．甲物体的重量比乙物体大5倍，甲从H高处自由落下，乙从2H高处与甲物体同时自由落下，在它们落地之前，下列说法中正确的是(　　)

A．两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度比乙的速度大

B．下落1 s末，它们的速度相同

C．各自下落1 m时，它们的速度相同

D．下落过程中甲的加速度比乙的加速度大

解析　要注意它们是同时自由下落的，所以两个物体下落是同步的，并且加速度都是一样的，只不过是甲先落地罢了．

答案　BC

6．关于自由落体运动，以下说法正确的是(　　)

A．质量大的物体做自由落体运动时的加速度大

B．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动

C．雨滴下落的过程是自由落体运动

D．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可近似看做自由落体运动

解析：所有物体在同一地点的重力加速度相等，与物体质量大小无关，故A错；从水平飞行着的飞机上释放的物体，由于惯性具有水平初速度，不是自由落体运动，故B错；雨滴下落过程所受空气阻力与速度大小有关，速度增大时阻力增大，当雨滴速度增大到一定值时，阻力与重力相比不可忽略，不能认为是自由落体运动，故C错；从水龙头上滴落的水滴所受的空气阻力与重力相比可忽略不计，可认为只受重力作用，故D对。

答案：D

7．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子里听到声音时，后一滴恰离开水龙头．测出n次听到水击盘声的总时间t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度．设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，已知声速为340 m/s，则(　　)

A．水龙头距人耳的距离至少为34 m

B．水龙头距盘子的距离至少为34 m

C．重力加速度的计算式为

D．重力加速度的计算式为

解析　由于人耳能区分两个声音的时间差为0.1 s，因此两滴水落到盘子的时间差必须不小于0.1 s，则水龙头距盘子的距离至少为h＝gt²＝0.05 m．它与水龙头距人耳的距离无关．因为不管人耳距水龙头多近或多远，时间差都由水滴落到盘子的时间差决定．

当听到n次声音时，事实上的时间间隔为(n－1)次．

则h＝g()²，g＝.

答案　D

8．从高处自由落下的物体，它在第ns末的速度比第(n－1) s末的速度大________m/s；它在第n s的位移比第(n－1) s内的位移大________m.

解析　由v_n＝gnt和v_n－1＝g(n－1)t，

得Δv＝v_n－v_n－1＝gt.

当t＝1 s时，Δv＝9.8 m/s

由h_n＝g(nt)²，h_n－1＝g(n－1)²t²，

h_n－2＝g(n－2)²t²，

得第ns和第(n－1)s内位移分别为

x_n＝h_n－h_n－1，x_n－1＝h_n－1－h_n－2，

其差值Δx＝x_n－x_n－1＝gt²

当t＝1 s时，Δx＝9.8 m

答案　9.8　9.8

9．有A、B两个小球，在不同高度上做自由落体运动，A球下落1 s后，B球开始下落，两球同时落到地面．已知B球离地面高度为20 m，问A球从多高处下落？(g取10 m/s²)

解析　先求出B球下落的时间，根据h＝gt²，得t＝ ＝2 s，故A球下落的时间是3 s，下落的高度为h_A＝gt＝×10×9 m＝45 m.

答案　45 m

10．甲、乙两位同学一起做测量反应时间的实验．实验时，甲用一只手在直尺下部做握住直尺的准备，当看到乙同学放开手时，他立即握住直尺．如果测出直尺下降的高度为11.25 cm，请你计算甲同学的反应时间．(g取10 m/s²)

解析　h＝gt²　t＝ ＝ s＝0.15 s

答案　0.15 s

11.如图所示，竖直悬挂一根长15 m的杆，在杆的下方距杆下端5 m处有一观察点A，当杆自由下落时，从杆的下端经过A点时开始记时，试求杆全部通过A点所需的时间。(g＝10 m/s²)

解析：杆下端到A点时，位移为5 m,5 m＝gt，t₁＝1 s；杆上端到A点时，位移为20 m,20 m＝gt，t₂＝2 s，杆全部通过A点所需时间为两者之差，即：Δt＝t₂－t₁＝1 s。

答案：1 s