第四节　力的合成和分解

知识点归纳

知识点一、共点力及力的合成

1．共点力的概念：如果几个力同时作用在物体的同一点或者它们的作用线相交于同一点，则这几个力叫做共点力。

2．力的合成：

(1)合力与分力：如果一个力作用在物体上，产生的效果跟几个力共同作用在物体上产生的效果相同，则这个力就叫那几个力的合力，那几个力叫这个力的分力．

(2)力的合成

①力的合成：求几个力的合力叫力的合成．

(2)两个力的合成                     

    ①遵循法则平行四边形定则。

 ②方法：以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线表示合力的大小和方向。

 ③两个以上的力的合成方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

 ④注意事项：力的合成是惟一的；只有同一个物体受到的力才能够进行力的合成；不同性质的力也可以进行力的合成，因为合力与分力只是作用效果上的等效替代．

知识点二、探究力的合成规律

1．实验原理：使某个力F′的作用效果以及F₁与F₂的共同作用效果都是使橡皮条伸长到同一点，所以F′为F₁和F₂的合力，作出F′的图示，再根据平行四边形定则作出F₁和F₂的合力F的图示，比较F、F′，分析在实验误差允许的范围内是否大小相等、方向相同．

2．实验目的：

(1)验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则；

(2)通过验证力的平行四边形定则，培养用图象法处理实验数据并得出结论的能力．

3．实验器材

方木板一块，白纸，弹簧秤两个，橡皮条，细绳和细绳套各两个，三角板，刻度尺，图钉几个，铅笔．

4．实验步骤

(1)用图钉把白纸固定于方木板上，把橡皮筋的一端固定．

(2)在橡皮筋的另一端系上细线，用两个弹簧测力计成某一角度地通过细绳套把橡皮筋拉到某一点O.用铅笔记下O点的位置、两弹簧测力计的读数F₁、F₂和两条细绳的方向．如图甲所示．

(3)用一个弹簧测力计将同一条橡条筋拉到O点，记下弹簧测力计的读数F和细绳的方向．如图乙所示．

(4)选定标度，作出力F₁、F₂和F的图示．

(5)以F₁、F₂为邻边作平行四边形，并作出对角线(如图丙所示)．

(5)实验结论：F的图示和对角线在误差范围内重合．则力F对橡皮筋作用的效果与F₁和F₂共同作用的效果相同，所以力F就是F₁和F₂的合力．若已知两个力F₁和F₂，可以根据F₁和F₂做平行四边形，对角线F′就为合力．

5．注意事项：

(1)被测力的方向应与弹簧测力计轴线方向一致，拉动时弹簧不可与外壳相碰或摩擦．

(2)在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点O的位置一定要相同．

(3)细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．不要直接沿细绳套的方向画直线，应在细绳套末端用铅笔画一个点，取掉细绳套后，再将所标点与O点连一直线确定力的方向．

(4)在同一次实验中，画力的图示所用的标度要相同，并且要恰当选取标度，使所作力的图示稍大些．

(5)在具体实验时，两分力间夹角不宜过大，也不宜过小，以60°～100°之间为宜．

6．实验误差分析

本实验误差的主要来源除弹簧测力计本身的误差外，还有读数误差、作图误差，因此读数时眼睛一定要正视刻度，要按有效数字正确读数和记录．两个分力F₁、F₂间夹角θ越大，用平行四边形定则作图得出的合力F的误差ΔF也越大，所以实验中不要把θ取得太大，同时夹角也不能太小．

知识点三、合力与分力的关系

1．(1)合力与几个分力间是等效替代关系，受力分析时，分力与合力不能同时作为物体所受的力．

(2)只有同一物体同时受到的力才能合成．

2．合力与分力间的大小关系

(1)两力同向时合力最大：F＝F₁＋F₂，方向与两力同向；

(2)两力方向相反时，合力最小：F＝|F₁－F₂|，方向与两力中较大的力同向；

 (3)两力成某一角度θ时，如图所示，三角形AOC的每一条边对应一个力，由几何知识可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|F₁－F₂|＜F＜F₁＋F₂.因此合力大小的范围是：|F₁－F₂|≤F≤F₁＋F₂.

(4)两个力大小一定，它们的夹角越大，合力越小．

知识点四、用平行四边形定则求合力的方法

1．作图法：根据两个分力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F₁、F₂，再以F₁、F₂为邻边作出平行四边形，从而得到F₁、F₂之间的对角线，根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就代表了合力的大小，对角线与某一分力的夹角就可以代表合力的方向．

2．计算法

可以根据平行四边形定则作出示意图，然后根据几何知识求解平行四边形的对角线，即为合力．以下为求合力的几种特殊情况：

(1)相互垂直的两个力的合成，如图甲所示：

由几何知识，合力大小F＝，方向tan θ＝.

(2)夹角为θ，大小相等的两个力的合成，如图乙所示：

由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小F＝2F₁cos，方向与F₁夹角为.

(3)夹角为120°的两等大的力的合成，如图丙所示：

由几何知识得出对角线将平行四边形分为两个等边三角形，故合力与分力大小相等．

知识点五、力的分解

1．力的分解概念：求一个已知力的分力叫力的分解。

2．分解依据：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则．

3．分解原则：把一个已知力作为平行四边形的对角线，则与已知力共点的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．由于同一条对角线可以作出无数个不同的平行四边形，因此，如果没有限制，从理论上分析，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。

知识点六、力的分解的几个典型实例

知识点七、力的正交分解法

1．正交分解法的原理：一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得．当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便．为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向上的合力F_x和F_y，然后由F＝求合力．

2．正交分解法的步骤

(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．

 (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号F_x和F_y表示，如图所示．

(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出F_x、F_y的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．

 (4)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：

F_x＝F_1x＋F_2x＋…

F_y＝F_1y＋F_2y＋…

(5)求共点力的合力，合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.

典例分析

一、合力与分力的关系理解

例1 以下关于分力和合力的关系的叙述中，正确的是(　　)．

A．合力和它的两个分力同时作用于物体上

B．合力的大小等于两个分力大小的代数和

C．合力可能小于它的任一个分力

D．合力的大小可能等于某一个分力的大小

解析　力的合成遵守平行四边形定则，合力的大小可以大于分力，可以小于分力，也可以等于分力．

答案　CD

归纳总结：若只知道两个分力的大小，不知它们的夹角，其合力是无法确定的，它们的合力可能比两个分力都大、都小，也可能大于一个分力小于另一个分力，还有可能等于一个分力．

二、验证平行四边形定则的实验

例2 某同学做“验证力的平行四边形定则”实验时，主要步骤是：

A．在桌上放一块方木板， 在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；

B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；

C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O.记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；

D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F₁和F₂的图示，并用平行四边形定则求出合力F；

E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；

F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论．

上述步骤中：

(1)有重要遗漏的步骤的序号是________和________；(2)遗漏的内容分别是____________和____________．

解析　本题主要考查在验证力的平行四边形定则实验中的实验步骤，要求理解、记住该实验的操作顺序．据验证力的平行四边形定则的操作规程可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E.在C中未记下两条绳的方向；E中未说明是否把橡皮条的结点拉到了同一位置O.

答案　见解析

三、力的合成方法

例3 如图所示，两个人共同用力将一块牌匾拉上墙头．其中一人用了450 N的拉力，另一人用了600 N的拉力．如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力．

解析　如图所示：

F＝＝ N＝750 N

与F₁的夹角：tan φ＝＝＝，φ＝53°.

答案　750 N，方向与450 N的拉力的夹角为53°且向上

四、对力作用效果的理解

例4 如图所示，光滑斜面上物体重力mg分解为F₁、F₂两个力，下列说法中正确的是(　　)

A．F₁是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F₂是物体对斜面的压力

B．物体受到mg、F_N、F₁、F₂四个力的作用

C．物体只受到重力mg和斜面的支持力F_N的作用

D．力F_N、F₁、F₂三力的作用效果与mg、F_N两个力的作用效果相同

解析　F₁、F₂两个力是重力mg的两个分力，其作用效果与重力mg等效，性质与重力的性质相同，所以F₂不是物体对斜面的压力，物体只受重力mg和斜面支持力F_N的作用．力的合成与分解的原理就是分力的作用效果与合力作用效果相同，考虑了合力作用效果后，就不能再考虑分力的作用效果，否则是重复考虑了力的作用效果，导致错误的结论，故C、D正确．

答案　CD

五、正交分解法的应用

例5 如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，物体与地面间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为(　　)

A．Fsin θ　　　　                      B．Fcos θ

C．μ(Fsin θ＋mg)                        D．μ(mg－Fsin θ)

 

解析　先对物体进行受力分析，如下图所示，然后对力F进行正交分解，F产生两个效果：使物体水平向前F1=Fcos θ，

同时使物体压紧水平面F2=Fsin θ.由力的平衡可得F1=Ff，F2+G=FN，又滑动摩擦力Ff=μFN，即可得Ff=Fcos θ=μ(Fsin θ+G)．

答案　BC

自我检测

1．F₁、F₂是力F的两个分力．若F＝10 N，则下列不可能是F的两个分力的是(　　)

A．F₁＝10 N　F₂＝10 N　　　　             B．F₁＝20 N　F₂＝20 N

C．F₁＝2 N　F₂＝6 N                             D．F₁＝20 N　F₂＝30 N

解析：　本题考查合力和分力之间的关系．合力F和两个分力F₁、F₂之间的关系为|F₁－F₂|≤F≤|F₁＋F₂|，则应选C.

答案：　C

2．作用在物体上同一点的两个力之间的夹角由0°逐渐增大到180°的过程中，合力的大小将(　　)

A．逐渐增大                            B．逐渐减小

C．先增大后减小                        D．先减小后增大

答案　B

3.小明同学在体育课上做单杠练习时，两臂伸直，双手平行握住单杠，之后逐渐增大双手间的距离，如右图所示，此过程中小明同学手臂上拉力的变化情况为(　　)

A．逐渐变小                                           B．逐渐变大

C．先变大后变小                                    D．先变小后变大

解析：　

人体受手臂的两个拉力和本身的重力作用，处于平衡状态，两个拉力的合力与重力属于二力平衡，则两者必然大小相等、方向相反．如右图所示，在小东同学两臂伸直、逐渐增大双手间距的过程中，重力G一定，可以判断手臂的两个拉力的合力F_合不变，由于两个手臂之间的夹角增大，而合力不变，所以拉力逐渐变大．正确答案是B.

答案：　B

4．下列说法中错误的是(　　)

A．力的合成遵循平行四边形定则

B．一切矢量的合成都遵循平行四边形定则

C．以两个分力为邻边的平行四边形的两条对角线都是它们的合力

D．与两个分力共点的那一条对角线所表示的力是它们的合力

解析　平行四边形定则是矢量的合成法则，比如力、速度、加速度的合成均遵循平行四边形定则，故A、B正确；需要注意的是合力用与两分力共点的对角线表示，故C错，D正确．

答案　C

5．关于两个力的合力，下列说法正确的是(　　)

A．合力大小一定大于分力大小

B．合力大小至少大于两分力中的一个分力大小

C．两个分力夹角为钝角时，合力大小一定小于两分力的大小

D．两个分力夹角为锐角时，合力大小一定大于两分力的大小

答案　D

解析　两个力F₁、F₂的合力F大小的范围为F₁＋F₂≥F≥|F₁－F₂|，由此式可以看出，合力未必大于两分力，所以A错；设两分力夹角为α，利用平行四边形定则，由余弦定理，其合力为F²＝F＋F＋2F₁F₂cos α，若π>α>，cos α<0，当F>|2F₁F₂cos α|时，F>F₁，所以C错；当F<|2F₁F₂ cos α|，同时F<|2F₁F₂cos α|时，F<F₁，F<F₂，所以B错；当α<时，cos α>0，F²>F＋F，所以F>F₁，F>F₂，所以D正确．

6．一根轻质细绳能承受的最大拉力是G，现把一重力为G的物体系在绳的中点，两手先并拢分别握住绳的两端提物体，然后缓慢并左右对称地分开，若想绳不断，两绳间的夹角不能超过(　　)

A．45°                                                    B．60°

C．120°                                                  D．135°

解析：　取物体为研究对象，它共受三个力作用，其中两绳的拉力的合力必竖直向上，且大小等于重力G.由合力与分力的关系可知，当细绳拉力为G时，两绳间的夹角最大，此时合力与两分力大小相等，则两绳间夹角为120°.故选项C正确．

答案：　C

7．在“互成角度的两个力的合成”实验中，为了减小实验误差，应注意(　　)

A．描点、作图时的铅笔尖一些，并使图尽量大些

B．拉橡皮条的细绳尽量长些

C．在用两个弹簧测力计拉时，两细绳的夹角尽量大些

D．在用两个弹簧测力计拉时，两弹簧测力计的示数尽量大些

解析　作图时比例大些，使弹簧测力计的示数大些，可以减小相对误差，使拉橡皮条的细绳长些，可使记录绳的方向时，确定的点与结点O距离大些，减小连线时的相对误差，因此A、B、D选项所说的要求都能起到减小相对误差的作用，在实验中，两个分力F₁、F₂的夹角θ过大，用平行四边形作图得到的合力F的误差越大，所以在实验中不要把θ角取得太大．

答案　ABD

8．一根细绳能承受的最大拉力是G，现把一重为G的物体系在绳的中点，分别握住绳的两端，先并拢，然后缓慢地左右对称地分开，若要求绳不断，则两绳间的夹角不能超过(　　)

A．45°             B．60°              C．120°              D．135°

解析　由于细绳是对称分开的，因而两绳的拉力相等，为保证物体静止不动，两绳拉力的合力大小等于G，随着两绳夹角的增大，两绳中的拉力增大，当两绳的夹角为120°时，绳中拉力刚好等于G.故C正确，A、B、D错误．

答案　C

9．物体同时受到同一平面内三个共点力的作用，下列几组力的合力不可能为零的是(　　)

A．5 N,7 N,8 N　　　　　　　                B．5 N,2 N,3 N

C．1 N,5 N,10 N                                      D．10 N,10 N,10 N

解析：　三力合成力，若前两力的合力可与第三力大小相等、方向相反，就可以使这三个力合力为零，只要使其第三力在其他两个力合力范围内，就可能使合力为零，即第三力F₃满足：|F₁－F₂|≤F₃≤|F₁＋F₂|.分析A、B、C，D各组力中前两力合力范围为：2 N≤F_合≤12 N，第三力在其范围内；3 N≤F_合≤7 N，第三力在其合力范围内；4 N≤F_合≤6 N，第三力不在其合力范围内；0 N≤F_合≤20 N，第三力在其合力范围内；故只有C项中，第三力不在前两力合力范围内，C项中的三力合力不可能为零．

答案：　C

10．下图甲为“探究求合力的方法”的实验装置．

(1)下列说法中正确的是________．

A．在测量同一组数据F₁、F₂和合力F的过程中，橡皮条结点O的位置不能变化

B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下

C．F₁、F₂和合力F的大小都不能超过弹簧测力计的量程[来源:学科网]

D．为减小测量误差，F₁、F₂方向间夹角应为90°

(2)弹簧测力计的指针如图乙所示，由图可知拉力的大小为________N.

解析：　(1)在测量同一组数据的过程中，橡皮条结点O的位置不能变化，如果变化，即受力变化，所以A选项正确；由于弹簧测力计是通过定滑轮拉结点O，定滑轮只能改变力的方向不能改变力的大小，所以弹簧测力计拉线的方向不一定要沿竖直方向，B选项错误；弹簧测力计的使用，不能超过其量程，C选项正确；两个拉力的方向合适即可，不宜太大，也不宜太小，但不一定为90°，所以D选项错误．

(2)考查弹簧测力计的读数．

答案：　(1)AC　(2)4.00

11．如图所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B，并处于静止，这时A受到水平面的支持力为F_N，摩擦力为F_f，若把A向右移动一些后，A仍静止，则(　　)．

A．F_N将增大

B．F_f将增大

C．轻绳拉力将减小

D．物体受合力将增大

解析　物体A受力如图，系统处于静止状态，绳子的拉力不变，始终等于B的重力，即F＝m_Bg，合力为零，故C、D均错；当A向右移动时，θ角减小，F_N＝m_Ag－Fsin θ，F_f＝Fcos θ，由此可得，F_N、F_f均增大，所以A、B正确．

答案　AB

12．置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图所示．保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中物体对地面的正压力F_N和地面给物体的摩擦力F_f的变化是(　　)．

A．F_N先变小后变大，F_f不变

B．F_N不变，F_f先变小后变大

C．F_N、F_f都是先变大后变小

D．F_N、F_f都是先变小后变大

解析　力F与水平方向的夹角θ先增大后减小．水平方向上，Fcos θ－F_f＝0，F_f＝Fcos θ；竖直方向上，F_N＋Fsin θ－mg＝0，F_N＝mg－Fsin θ.故随θ变化，F_f、F_N都是先减小后增大．

答案　D

13．有两个大小不变的共点力，它们的合力大小F随两力夹角变化情况如图所示，则两力大小为多少？

答案　4 N和8 N

解析　设两力大小分别为F₁、F₂，由图象知，当θ＝180°时，有

|F₁－F₂|＝4 N①

当θ＝0时，有F₁＋F₂＝12 N　　 ②

由①②可得F₁＝8 N，F₂＝4 N(或F₁＝4 N，F₂＝8 N)．

14．如图所示为剪式千斤顶，是用来顶起汽车的装置．当摇动把手时，螺纹轴就迫使千斤顶的左右两臂靠拢，同时抬起重物．汽车对千斤顶的压力为1.0×10⁵ N.

(1)当千斤顶两臂间的夹角为120°时，其两臂受的压力各是多大？

(2)若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将怎样变化？

 

解析　(1)将汽车对千斤顶的压力分解到两臂上，如右图所示．由图可以看出，当两个分力互成β＝120°角时，分力大小与合力大小相等，即F₁＝F₂＝F＝1.0×10⁵ N.

(2)若继续摇把手，两臂与竖直方向的夹角始终相等，且夹角β减小，由F₁＝F₂＝知，两臂所受压力将减小．

答案　(1)均为1.0×10⁵ N　(2)减小

15．如图所示，ABC为一直角劈形物体，将其卡于孔中，劈的斜面AB＝10 cm，直角边AC＝2 cm.当用F＝100 N的力沿水平方向推劈时，求劈的上侧面和下侧面产生的推力．

解析　加在劈面上的力F产生两个效果，即使劈形物体的两个侧面产生垂直向外的推力．由此可断定两个分力F₁、F₂的方向分别是垂直水平面向下和垂直斜面斜向上．受力分析如图所示．

由劈截面三角形ABC和表示力的三角形相似，对应边成比例得

F₂＝·F＝×100 N＝500 N