第三章　交变电流

第1节　交变电流

知识点归纳

知识点一、交变电流

1．交变电流：大小和方向都随时间做周期性变化的电流，简称交流。

2．直流：方向不随时间变化的电流。大小和方向都不随时间变化的电流称为恒定电流。

知识点二、交变电流的产生

1．产生条件：在匀强磁场中，矩形线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。如图所示：

2．过程分析：如图所示

     

线圈由甲位置转到乙位置过程中，电流方向为b→a→d→c.

线圈由乙位置转到丙位置过程中，电流方向为b→a→d→c.

线圈由丙位置转到丁位置过程中，电流方向为a→b→c→d.

线圈由丁位置回到甲位置过程中，电流方向为a→b→c→d.

3．中性面

(1)定义：线圈与磁场垂直的平面．

(2)特点：线圈与中性面重合时，磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零，感应电流改变方向．线圈转动一周，感应电流方向改变两次．线圈平面与中性面垂直时，穿过线圈平面的磁通量为零，但磁通量的变化率为最大，产生的感应电动势为最大．

知识点三、中性面、中性面的垂面位置的特性及转动过程中各量的变化

知识点四、交变电流的变化规律

1．从两个特殊位置开始计时瞬时值的表达式

2.正弦式交变电流的图象

(1)物理意义：描述交变电流(电动势e、电流i、电压u)随时间t(或角度ωt)变化的规律。

(2)正弦式交变电流的图象

3．几种不同类型的交变电流

在实际应用中，交变电流有不同的变化规律，常见的有以下几种，如图所示。

知识点五、正弦交变电流的瞬时值表达式和峰值表达式

1．瞬时值

若线圈平面从中性面开始转动，则经过时间t：

(1)线圈转过的角度为ωt.

(2)ab边的线速度跟磁感线方向的夹角θ＝ωt.

(3)ab边转动的线速度大小：v＝ωR＝ω

(4)ab边产生的感应电动势：E_ab＝BSωsin ωt

(5)整个线圈产生的感应电动势：E＝2E_ab＝BSωsin ωt.若线圈为N匝，E＝NBSωsin ωt

2．峰值

(1)由E＝NBSωsin ωt，可知，电动势的峰值E_m＝NBSω.

(2)交变电动势最大值，由线圈匝数N，磁感应强度B，转动角速度ω及线圈面积S决定，与线圈的形状无关，与转轴的位置无关，因此如图所示的几种情况，若N、B、S、ω相同，则电动势的峰值相同．

3．几种常见图象的对比

交变电流的变化规律与图象表示(从中性面开始计时)

 

典例分析

一、中性面的概念解读

例1  矩形线圈的面积为S，匝数为n，在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场的轴OO′以角速度ω匀速转动．当转到线圈平面与磁场垂直的图示位置时(　　)

A．线圈中的电动势为nBSω   B．线圈中的电动势为0

C．穿过线圈的磁通量为0     D．穿过线圈的磁通量变化率最大

解析　当转到线圈平面与磁场垂直的图示位置时，线圈边框不切割磁感线，没有电动势的产生，A选项错误，B选项正确；此时穿过线圈的磁通量最大，C选项错误；根据法拉第电磁感应定律可知，磁通量的变化率与感应电动势成正比，此时穿过线圈的磁通量变化率为零，D选项错误．

答案　B

归纳总结：对于交变电流产生过程中各物理量的变化情况分析，应抓住中性面这个关键位置，特别注意的是此时穿过线框平面的磁通量虽最大，但磁通量的变化率却最小，等于零，电动势等于零，电流等于零．因此磁通量的变化规律与感应电动势(感应电流)的变化规律恰好相反，一方增大时另一方恰好减小．

二、磁通量与交变电流的产生

例2  一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，产生的交变电动势的图象如图所示，则(　　)

A．交流电的频率是4π Hz

B．当t＝0时，线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大

C．当t＝π s时，e有最大值

D．t＝π s时，e＝－10 V最小，磁通量变化率最小

解析　从图象可知交流电的周期为2π s，频率为 Hz，t＝π s时， e＝0最小，A、C错误；t＝0时，e最小，Φ最大，B正确；t＝π s时，e＝－10 V，e最大，最大，“－”号表示方向，D错误。

答案　B

归纳总结：一看：看“轴”、看“线”、看“斜率”、看“点”，并理解其物理意义。

二变：掌握“图与图”“图与式”和“图与物”之间的变通关系。

三判：在此基础上进行正确的分析和判断。

自我检测

1.矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，下列说法中正确的是(　　)

A．在中性面时，通过线圈的磁通量最大

B．在中性面时，感应电动势最大

C．穿过线圈的磁通量为零时，感应电动势也为零

D．穿过线圈的磁通量为零时，磁通量的变化率也为零

解析　中性面和磁场垂直，磁通量最大，磁通量的变化率为零．

答案　A

2．如图所示的图象中表示交变电流的是(　　)

解析 B、C两图象中，虽然电流大小随时间做周期性变化，但电流方向不变，故不是交变电流。 A图中电流的方向没发生变化，不是交变电流。D图中，电流的大小、方向均做周期性变化，是交变电流，故D正确。

答案 D　

3．交流发电机在工作时电动势为e＝E_msin ωt，若将发电机的转速提高一倍，同时将电枢所围面积减小一半，其他条件不变，则其电动势变为(　　)

A．e′＝E_msin　　　　　　B．e′＝2E_msin

C．e′＝E_msin 2ωt           D．e′＝sin 2ωt

解析　由E_m＝NBSω知，当发电机的转速提高一倍，电枢所围面积减小一半后，E_m不会变化，所以e′＝E_msin 2ωt.

答案　C

4．线圈在匀强磁场中转动产生的电动势e＝10sin 20πt V，则下列说法正确的是(　　)

A．t＝0时，线圈平面位于中性面

B．t＝0时，穿过线圈的磁通量最大

C．t＝0时，线圈导线切割磁感线的有效速率最大

D．t＝0.4 s时，e有最大值10 V

解析　由电动势的瞬时值表达式可知，计时从线圈位于中性面时开始，所以t＝0时，线圈平面位于中性面，磁通量为最大，但此时导线速度方向与磁感线平行，切割磁感线的有效速率为零，A、B正确，C错误；当t＝0.4 s时，e＝10×sin (20π×0.4)V＝0，D错误。

答案  AB

5.如图所示，一矩形线圈abcd放置在匀强磁场中，并绕过ab、cd中点的轴OO′以角速度ω逆时针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角为零时(图示位置)为计时起点，并规定当电流自a流向b时电流方向为正。则选项图中正确的是(　　)

解析　从题图可看出线圈从垂直于中性面的位置开始旋转，由右手定则可判断，初始时刻(t＝0)电流方向为b →a，故瞬时电流的表达式为i＝－i_mcos ωt，可知D项正确。

答案 D

6.如图所示，一矩形线圈 abcd，已知 ab边长为l₁，bc边长为l₂，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω从图示位置开始匀速转动，则t时刻线圈中的感应电动势瞬时值为(　　)

A．0.5Bl₁l₂ωsin  ωt　　　　B．0.5Bl₁l₂ωcos ωt

C．Bl₁l₂ωsin  ωt           D．Bl₁l₂ωcos ωt

解析　因为开始时刻线圈平面与磁感线平行，即线圈从垂直于中性面位置开始匀速转动，所以开始时刻线圈中感应电动势最大，为E_m＝Bl₁l₂ω，感应电动势的表达式应为余弦函数，因此在t时刻线圈中的感应电动势瞬时值为Bl₁l₂ωcos ωt，故D正确。

答案  D

7．一闭合矩形线圈abcd绕垂直于磁感线的固定轴OO′匀速转动，线圈平面位于如图甲所示的匀强磁场中。通过线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是(　　)

A．t₁、t₃时刻通过线圈的磁通量变化率最大

B．t₁、t₃时刻线圈中感应电流方向改变

C．t₂、t₄时刻通过线圈的磁通量最大

D．t₂、t₄时刻线圈中感应电动势最小

解析  t₁、t₃时刻通过线圈的磁通量Φ最大，磁通量变化率为零，此时感应电动势、感应电流均为零，线圈中感应电流方向改变，选项A错误，选项B正确；t₂、t₄时刻通过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大，即感应电动势最大，选项C、D错误。

答案  B　

8.如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中可以分别绕垂直于磁场方向的轴P₁和P₂以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到图示与磁场方向平行时(　　)

A．线圈绕P₁转动时的电流等于绕P₂转动时的电流

B．线圈绕P₁转动时的电动势小于绕P₂转动时的电动势

C．线圈分别绕P₁和P₂转动时的电流的方向相同，都是a→d→c→b

D．线圈绕P₁转动时dc边受到的安培力大于绕P₂转动时dc边受到的安培力

解析　产生正弦交变电流的条件是轴和磁感线垂直，与轴的位置和线圈形状无关，线圈abcd分别绕轴P₁、P₂转动，转到图示位置时产生的电动势E＝nBSω，由I＝可知此时I相等，故选项A正确，选项B错误；由右手定则可知电流方向为a→d→c→b，故选项C正确；dc边受到的安培力F＝BL_dcI，故F一样大，选项D错误。

答案  AC

9．一台发电机产生的正弦式交变电流的电动势最大值是400 V，线圈匀速转动的角速度是100 π rad/s，写出瞬时电动势的表达式．在1 s内电流方向改变多少次？

解析　由e＝E_msin ωt，得e＝400sin 100πt

f＝＝ Hz＝50 Hz

即每秒钟会出现50个周期，而每个周期里电流方向改变两次，故每秒钟电流方向改变100次．

答案　100次

10.有一10匝正方形线框，边长为20 cm，线框总电阻为1 Ω，线框绕OO′以10π rad/s的角速度匀速转动，如图所示，垂直于线框平面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.5 T，π取3.14，问：

(1)该线框产生的交变电流电动势最大值、电流最大值分别是多少？

(2)线框从图示位置转过60° 时，感应电动势的瞬时值是多大？

解析  (1)交变电流电动势最大值为E_m＝NBSω＝10×0.5×0.2²×10π V＝6.28 V，

电流的最大值为I_m＝＝ A＝6.28 A。

(2)线框转过60° 时，感应电动势e＝E_msin  60°≈5.44 V。

答案  (1)6.28 V　6.28 A　(2)5.44 V

11.如图所示，线圈abcd的面积是0.05 m²，共100匝，线圈的总电阻r＝1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度B＝ T，线圈以角速度ω＝100π rad/s匀速转动。

(1)若线圈经过图示位置(线圈平面与磁感线垂直)时开始计时，写出线圈中感应电动势瞬时值的表达式。

(2)写出交变电流的瞬时值表达式。

(3)求线圈由图示位置转过的过程中，交变电动势的平均值。

解析  (1)线圈中感应电动势的最大值为E_m＝NBSω＝100××0.05×100π V＝500 V

线圈中感应电动势瞬时值e＝E_msin ωt所以e＝500sin 100πt(V)。

(2)交变电流的最大值I_m＝＝ A＝50 A，

所以电流的瞬时值表达式为i＝50sin 100πt(A)。

(3)＝N＝＝ V。

答案  (1)e＝500sin 100πt(V)　(2)i＝50sin 100πt(A)　(3) V