第2节　交变电流的描述

知识点归纳

知识点一、交变电流的基本概念

一、周期和频率

1．物理意义：描述交变电流变化快慢的物理量。

2．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间；用T表示，单位是秒(s)。

3．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数；用f表示，单位是赫兹 (Hz)。

4．ω、T、f的关系 

ω＝＝2πf；T＝或f＝。

二、峰值、有效值和相位

1．峰值

(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大数值。

(2)应用：电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值。

2．有效值

(1)定义：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I、电压U，叫做这个交流的有效值。

(2)应用

①交流用电设备上所标的额定电压和额定电流；

②交流电压表测量的数值；

③无特别说明时提到的交变电流的数值。

3．正弦式交变电流峰值和有效值的关系：I＝，U＝。

4．相位

(1)正弦式交变电流瞬时值表达式中正弦符号“sin  ”后面的量“ωt＋φ”叫做交变电流的相位，“φ”叫初相位。

(2)两支交流的相位之差叫做它们的相位差；当它们的频率相同时，相位差是个常数。

知识点二、交变电流有效值的计算

1．交变电流有效值是根据电流的热效应进行定义的．理解时要注意三同：相同电阻、相同时间、产生相同热量．

2．由于交流的周期特点，计算有效值时，通常取一个周期．按如下方法计算：

(1)假设交变电流通过电阻R，计算交流电在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)．

(2)将热量Q用相应的物理量的有效值表示(例如Q＝I²Rt，Q＝t，进而求出相应的有效值)．

知识点三、交变电流的平均值

1．平均值的物理意义：交流电的平均值是交流电图象中波形对时间轴所围面积跟时间的比值，由于对时间所围面积的大小表示这段时间内通过的电荷量，因此计算通过导体的电荷量时，要用交变电流的平均值；q＝It，平均值的计算需用＝n和I＝计算．交流电有效值是根据热效应规定的，即跟交变电流的热效应相等的直流电的值为交变电流的有效值，在计算热量、功率问题时用有效值．

2．平均值的计算方法：例如某单匝线圈在磁场中匀速转动产生正弦交流电，当线圈从中性面转过90°的过程中，电动势的平均值的表达式为：E＝＝＝.但是其有效值的计算方法为E＝＝.

知识点四、瞬时值、最大值、有效值、平均值的区别与联系

 

知识点五、常见的交变电流的图象和有效值的计算方法

典例分析

一、最值、周期、频率的考查

例1 关于交变电流的周期和频率，下列说法中正确的是     (　　)

A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期

B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率

C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍

D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s

解析  根据周期的定义知选项A、B错误。因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期。交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，所以选项C正确。由T＝＝ s＝0.02 s，知选项D错误。

答案  C　

归纳总结：1．线圈转动一周，交变电流恰好完成一次周期性变化。

2．从线圈转动的角度来说，周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间；频率就是线圈在磁场中一秒钟内转动的圈数。

3．线圈在匀强磁场中转动一周，电动势、电流都按正(余)弦规律变化一次。

二、有效值的考查

例2 如图所示是一交变电流随时间而变化的图像，此交变电流的有效值是(　　)

A．5 A       B．5 A        C．3.5 A                   D．3.5 A

解析　根据交变电流有效值的定义可得I₁²Rt₁＋I₂²Rt₂＝I²RT

即(4)²R×0.01＋(3)²R×0.01＝I²R×0.02解得I＝5 A。

答案　B

归纳总结：求解有效值时应注意的问题

(1)要分析清楚交变电流的变化规律，在一个交变电流中可能存在几种形式的交流电。

(2)对一个交变电流中存在几种形式的，在一个周期内可分段求出产生的热量，再求其和。

(3)正弦式电流的最大值和有效值的关系是I＝，U＝，非正弦式电流不符合此关系。

(4)分段不同恒定电流的交流电的有效值不是算术平均值，而是分段用焦耳定律求解。

三、交变电流中瞬时电流、电荷量问题

例3 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求：

(1)外力驱动线圈转动的功率；

(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；

(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。

解析　(1)线圈中产生的感应电动势的最大值为

E_m＝NBSω＝100×0.5×(0.2)²×2π×50 V＝628 V

感应电动势的有效值为E＝＝314 V

外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，即P_外＝＝ W＝1.97×10⁴ W。

(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为e＝E_msin 30°＝314 V

感应电流的瞬时值为 i＝＝ A＝31.4 A。

(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为＝N

平均感应电流为＝N

故通过导线横截面的电荷量为

q＝Δt＝N＝＝0.1 C。

答案　(1)1.97×10⁴ W　(2)314 V　31.4 A　(3)0.1 C

归纳总结：(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。

(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。

(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。

自我检测

1. 关于交变电流的周期和频率，下列说法中正确的是(　　)

A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期

B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率

C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍

D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s

解析　在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，相邻两个最大值的时间间隔为半个周期，故选项A、B错误；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝＝ s＝0.02 s，故选项D错误。

答案  C

2．关于交流电的有效值U和最大值U_m，下列说法中正确的是(　　)

A．任何形式的交流电都具有U＝U_m/的关系

B．正弦式交流电具有U＝U_m/的关系

C．照明电压220 V，动力电压380 V指的都是最大值

D．交流电压表和交流电流表测的都是最大值

解析　交流电为正弦式交变电流时，满足U＝U_m/的关系，照明电压220 V是指的有效值．

答案　B

3．若交流电1的电流随时间的变化规律为i₁＝10sin 10πt A，交流电2的电流随时间的变化规律为i₂＝20sinA，则(　　)

A．交流电1在t＝1 s时的相位为10π

B．交流电2的初相位为

C．相位是描述交变电流变化快慢的物理量

D．交流电1和2具有确定的相位差

解析　交流电1在t＝1 s时的相位为10π，A正确；交流电2的初相位为，B正确；两交流电的相位差为，D正确；相位是描述交变电流某时刻状态的物理量，C错误。

答案  ABD

4．将阻值为5 Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上，电源电动势随时间变化的规律如图所示．下列说法正确的是(　　)

A．电路中交变电流的频率为0.25 Hz

B．通过电阻的电流为 A

C．电阻消耗的电功率为2.5 W

D．用交流电压表测得电阻两端的电压是5 V

解析　由周期与频率的关系f＝知，f＝ Hz＝25 Hz；电动势的有效值U＝＝ V＝ V，通过电阻的电流I＝＝ A，电阻消耗的电功率为P＝＝2.5 W，交流电压表所测电压为有效值．

答案　C

5．一矩形线圈，在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴转动，形成如图所示的交变电动势图象，根据图象提供的信息，以下说法正确的是(　　)

A．线圈转动的角速度为 rad/s

B．电动势的最大值为20 V

C．t＝1.0×10^－2 s时，线圈平面和磁场方向的夹角为30°

D．t＝1.5×10^－2 s时，穿过线圈平面的磁通量最大

解析　由题图可知，周期T＝6×10^－2 s，角速度ω＝＝ rad/s，A项正确；电动势的最大值为20 V，B项正确；电动势的瞬时值表达式为e＝20sint(V)，将t＝1.0×10^－2 s代入t，解得θ＝，这是线圈从中性面开始转过的夹角，故线圈平面和磁场方向的夹角为30°，C项正确；t＝1.5×10^－2 s时，线圈平面与磁场方向平行，磁通量最小，D项错误。

答案  ABC

6．在相同的时间内，某正弦式交变电流通过一阻值为100 Ω的电阻产生的热量，与一电流为3 A的直流电通过同一阻值的电阻产生的热量相等，则(　　)

A．此交变电流的有效值为3 A，最大值为3 A

B．此交变电流的有效值为3 A，最大值为6 A

C．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值不确定

D．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为600 V

解析　根据交变电流有效值的定义知，交变电流的有效值即为直流电的电流值，为3 A。根据正弦交变电流有效值与最大值的关系，可知交变电流的最大值为3 A，A正确，B错误；根据欧姆定律U＝IR，则有U_有效＝I_有效R，U_m＝I_mR，故电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为300 V，C、D错误。

答案  A

7．交变电流电压表达式为u＝20sin 314t V，求这个交变电压的最大值U_m、有效值U、周期T、频率f.画出交变电流的电压u—t图象．

解析　已知交变电流的电压表达式u＝U_msin ωt，正弦符号前的系数即为最大值，根据正弦式交变电流的电压有效值与最大值的关系U＝，可求得U；再根据T＝，求得T；由f＝，求得f.

据题意，交变电流电压最大值U_m＝20 V，有效值U＝＝10 V，周期T＝＝ s＝0.02 s，频率f＝＝50 Hz.

画出交变电流的电压随时间变化图象如下图所示

答案　20 V　10 V　0.02 s　50 Hz　图象见解析

8. 先后用如图甲、乙所示的电流通过丙图中的电阻R，一个周期内产生的热量相同，则电流表的示数分别为多少？

解析  电流表的示数为通过R的电流的有效值。题图甲中的i ­ t图象是正弦式曲线，在前半个周期内，它的有效值与正弦式交变电流的有效值相同，I＝＝ A，后半个周期不产生热量，则交流电在一个周期内通过电阻R所产生的热量Q_交＝

直流电在一个周期内通过电阻R所产生的热量

Q_直＝I_A²RT

由于Q_交＝Q_直，所以＝I_A²RT

解得I_A＝＝2.5 A

题图乙中周期为0.04 s，前0.02 s内i大小、方向不变，产生的热量Q₁＝I_m′·2R·

后0.02 s内电流有效值为，产生的热量

Q₂＝²R·

Q_交＝Q₁＋Q₂，Q_交＝I′²RT

代入数据，解得I′＝2.5 A≈4.33 A。

答案  2.5 A　4.33 A(或2.5 A)