第二章  章末总结

要点归纳

知识点一、楞次定律的理解和应用

1．楞次定律解决的问题是感应电流的方向问题，它涉及到两个磁场，感应电流的磁场(新产生的磁场)和引起感应电流的磁场(原来就有的磁场)，前者和后者的关系不是“同向”和“反向”的简单关系，而是前者“阻碍”后者“变化”的关系．

2．对“阻碍的理解”

(1)阻碍原磁场的变化．“阻碍”不是阻止，而是“延缓”，感应电流的磁场不会阻止原磁场的变化，只能使原磁场的变化被延缓或者说被迟滞了，原磁场的变化趋势不会改变，不会发生逆转．

(2)阻碍的是原磁场的变化，而不是原磁场本身，如果原磁场不变化，即使它再强，也不会产生感应电流．

(3)阻碍不是相反，当原磁通量减小时，感应电流的磁场与原磁场同向，以阻碍其减小；当磁体远离导体运动时，导体运动将和磁体运动同向，以阻碍其相对运动．

(4)由于“阻碍”，为了维持原磁场的变化，必须有外力克服这一“阻碍”而做功，从而导致其他形式的能量转化为电能，因而楞次定律是能量转化和守恒定律在电磁感应中的体现．

3．运用楞次定律处理问题的思路

(1)判定感应电流方向问题的思路

运用楞次定律判定感应电流方向的基本思路可以总结为“一原、二感、三电流”．

①明确原磁场：弄清原磁场的方向以及磁通量的变化情况．

②确定感应磁场：即根据楞次定律中的“阻碍”原则，结合原磁场磁通量变化情况，确定出感应电流产生的感应磁场的方向．

③判定电流方向：即根据感应磁场的方向，运用安培定则判断出感应电流方向．

(2)判断闭合电路(或电路中可动部分导体)相对运动类问题的分析策略

在电磁感应问题中，有一类综合性较强的分析判断类问题，主要是磁场中的闭合电路在一定条件下产生了感应电流，而此电流又处于磁场中，受到安培力作用，从而使闭合电路或电路中可动部分的导体发生了运动．

知识点二、电磁感应中的力学问题

通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力作用，从而引起导体速度、加速度的变化．

(1)基本方法

①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求出感应电流的方向和感应电动势的大小．

②求出回路中电流的大小．

③分析研究导体受力情况(包括安培力，用左手定则确定其方向)

④列出动力学方程或者平衡方程求解．

感应电流→感应电流→通电导体受到安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化，周而复始的循环，循环结束时，加速度为零，导体达稳定状态，速度达到最值．

知识点三、电磁感应中的电路问题

在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源．

解决电路问题的基本方法：

①用法拉第电磁感应定律或楞次定律确定感应电动势的大小和方向．

②画出等效电路图．

③运用闭合电路欧姆定律、串并联电路性质，电功率等公式进行求解．

知识点四、 电磁感应中的图象问题

电磁感应中常常涉及磁感应强度、磁通量、感应电动势、感应电流、安培力或外力随时间变化的图象．

这些图象问题大体上可以分为两类：

①由给定的电磁感应过程选出或画出正确图象．

②由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．

不管是何种类型，电磁感应中的图象问题往往需要综合右手定则、左手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等规律分析解决．

知识点五、电磁感应中的能量问题

电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，此过程中，其它形式的能量转化为电能，“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其它形式的能转化为电能．

当感应电流通过用电器时，电能又转化为其它形式的能量，安培力做功的过程，是电能转化为其它形式的能的过程，安培力做了多少功，就有多少电能转化为其它形式的能量.

典例分析

一、楞次定律的应用

例1 如图所示，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合。若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则图中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是(　　)

解析 闭合铜环下落过程的侧视图如图所示，据右手定则或楞次定律可知闭合铜环在原点O上方和下方时电流方向相反，D错。闭合铜环从Ⅰ位置到Ⅱ位置过程电动势E变大，Ⅲ位置速度与磁感线平行，E＝0，闭合铜环下落过程加速运动，且在原点O下方速度较大，电动势E的最大值比上方E的最大值大，A、C错，B对。

答案　B

归纳总结：分析电磁感应图象问题的一般步骤

(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者E－t图象、i－t图象等。

(2)分析电磁感应的具体过程。

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。

(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。

(6)画图象或判断图象。

二、闭合线圈问题

例2 如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的匝数N＝100，边长ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻r＝2 Ω。磁感应强度B在0～1 s内从零均匀变化到0.2 T，在1～5 s内从0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向。求：

(1)0.5 s时线圈内感应电动势的大小E和感应电流的方向；

(2)在1～5 s内通过线圈的电荷量q；

(3)在0～5 s内线圈产生的焦耳热Q。

解析 (1)感应电动势E₁＝N，磁通量的变化量ΔΦ₁＝ΔB₁S

解得E₁＝N，代入数据得E₁＝10 V，感应电流的方向为a→d→c→b→a。

(2)同理可得E₂＝N，感应电流I₂＝，电荷量q＝I₂Δt₂

解得q＝N，代入数据得q＝10 C。

(3)0～1 s内线圈产生的焦耳热Q₁＝IrΔt₁，且I₁＝，1～5 s内线圈产生的焦耳热Q₂＝IrΔt₂

由Q＝Q₁＋Q₂，代入数据得Q＝100 J。

答案　(1)10V  方向为a→d→c→b→a   (2)10C  (3)100J。

归纳总结：解决电磁感应中电路问题

(1)确定电源：切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E＝n或E＝Blv求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。如果在一个电路中切割磁感线的有几个部分但又相互联系，可视为等效电源的串、并联。

(2)识别电路结构、画出等效电路：分析电路结构，即分清等效电源和外电路及外电路的串并联关系、判断等效电源的正负极或电势的高低等。

(3)利用电路规律求解：一般是综合应用欧姆定律、串并联电路特点、电容器充电及放电特点、电功和电功率的知识、法拉第电磁感应定律等列方程求解。　　

三、图象的分析与计算

例3 如图a所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如图b所示。t＝0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域Ⅰ

内的导轨上由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好。已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t＝t_x时刻(t_x未知)ab棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g。求：

(1)通过cd棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向；

(2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率；

(3)ab棒开始下滑的位置离EF的距离；

(4)ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量。

解析 (1)通过cd棒的电流方向d→c

区域Ⅰ内磁场方向为垂直于斜面向上

(2)对cd棒，F_安＝BIl＝mgsinθ，

所以通过cd棒的电流大小I＝

当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率P＝I²R＝

(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，a＝g sinθ

cd棒始终静止不动，ab棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动可得＝Blv_t，即＝Blgt_x· sinθ，所以t_x＝

ab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度v_t＝

则ab棒开始下滑的位置离EF的距离h＝at＋2l＝3l

(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间t₂＝＝

ab棒从开始下滑至EF的总时间t＝t_x＋t₂＝2，E＝Blv₁＝Bl

ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量Q＝EIt＝4mglsinθ。

答案　(1)d→c　垂直于斜面向上　(2)　(3)3l　(4)4mgl sinθ。

归纳总结：

图象分析的思路

―→―→―→―→　

四、图象的描绘

例4  匀强磁场磁感应强度B＝0.2 T，磁场宽度L＝3 m，一正方形金属框边长ab＝l＝1 m，其电阻r＝0.2 Ω，金属框以v＝10 m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图所示，求：

(1)画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的I－t图线；

(2)画出ab两端电压的U－t图线。

解析 (1)线框进入磁场区时，有：

E₁＝Blv＝2 V，I₁＝＝2.5 A。

方向沿逆时针，如图实线abcd所示，感应电流持续的时间t₁＝＝0.1 s。

线框在磁场中运动时，有：    E₂＝0，I₂＝0。

无电流的持续时间。t₂＝＝0.2 s。

线框穿出磁场区时，有：E₃＝Blv＝2 V。I₃＝＝2.5 A。

此电流的方向为顺时针，如上图虚线adcb所示。

规定电流方向逆时针为正，得I－t图线见尝试解答甲。

(2)线框进入磁场区ab两端电压为：

U₁＝I₁r＝2.5×0.2 V＝0.5 V。

线框在磁场中运动时，ab两端电压等于感应电动势，即

U₂＝Blv＝2 V。

线框出磁场时ab两端电压为：

U₃＝E₃－I₃r＝1.5 V。

由此得U－t图线如尝试解答图乙所示。

答案　(1)如图甲所示   (2)如图乙所示。

归纳总结：图象描绘的方法

(1)分析电磁感应的具体过程。

(2)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律列出函数方程。

(3)由函数关系和具体数值描绘出图象。　　

五、单棒切割磁感线的问题

例5  如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v_m，则(　　)

A. 如果B增大，v_m将变大      B. 如果α增大，v_m将变大

C. 如果R变小，v_m将变大      D. 如果m变小，v_m将变大

解析 金属杆从轨道上由静止滑下，经足够长时间后，速度达最大值v_m，此后金属杆做匀速运动。杆受重力、轨道的支持力和安培力如图所示。

安培力F＝LB，对金属杆列平衡方程式得mgsinα＝，则v_m＝。由此式可知，B增大，v_m减小；α增大，v_m增大；R变小，v_m变小；m变小，v_m变小，A、C、D错误；B正确。

答案　B

归纳总结：单棒切割磁感线的两种模型

模型一：导体棒ab先自由下落再进入匀强磁场，如图甲所示。

模型二：导体棒ab沿光滑的倾斜导轨自由下滑，然后进入匀强磁场(磁场垂直于轨道平面)，如图乙所示。

两类模型中的临界条件是导体棒ab受力平衡。以模型一为例，有mg＝F_安＝，即v₀＝。

若线框进入磁场时v>v₀，则线框先减速再匀速；若v<v₀，线框先加速再匀速(都假设线框和磁场区域长度足够长)。　　

六、与电容器相关问题

例6  如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和R_x分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻。

(1)调节R_x＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导体棒的速率v；

(2)改变R_x，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R_x。

解析 (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示。

导体棒所受安培力F_安＝BIl    ①

导体棒匀速下滑，所以F_安＝Mgsinθ    ②

联立①②式，解得I＝③

导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv④

由闭合电路欧姆定律得I＝，且R_x＝R，所以I＝⑤

联立③④⑤式，解得v＝。

(2)由题意知，其等效电路图如图所示。

由图知，平行金属板两板间的电压等于R_x两端的电压。

设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I，所以由欧姆定律知U＝IR_x    ⑥

要使带电的微粒匀速通过，则mg＝q⑦

联立③⑥⑦式，解得R_x＝。

答案　(1)　　(2)。

归纳总结：电磁感应中的含容电路常见的情境有两种：(1)支路含容且电压恒定，电容器的作用相当于断路，与恒定电流电路问题无异；(2)干路含容且导体棒匀加速运动，电容器随时间线性充电。

七、电磁感应的能量问题

例7  如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l＝0.5 m，左端接有阻值R＝0.3 Ω的电阻。一质量m＝0.1 kg，电阻r＝0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4 T。棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以a＝2 m/s²的加速度做匀加速运动，当棒的位移x＝9 m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁∶Q₂＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：

(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q；

(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q₂；

(3)外力做的功W_F。

解析 (1)设棒匀加速运动的时间为Δt，回路的磁通量变化量为ΔΦ，回路中的平均感应电动势为，由法拉第电磁感应定律得＝①其中ΔΦ＝Blx②

设回路中的平均电流为，由闭合电路的欧姆定律得＝③

则通过电阻R的电荷量q＝Δt④

联立①②③④式，代入数据得q＝4.5 C⑤

(2)设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v²＝2ax⑥

设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做功为W，由动能定理得W＝0－mv²⑦

撤去外力后回路中产生的焦耳热Q₂＝－W⑧

联立⑥⑦⑧式，代入数据得Q₂＝1.8 J⑨

(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q₁∶Q₂＝2∶1⑩

可得Q₁＝3.6 J⑪

在棒运动的整个过程中，由功能关系可知W_F＝Q₁＋Q₂⑫

由⑨⑩⑪⑫式得W_F＝5.4 J

答案　(1)4.5C  (2)1.8J  (3)5.4J。

归纳总结：求电路中产生的电能

(1)利用克服安培力求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。

(2)利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。

(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算。　　

八、“杆＋导轨”模型

例8  如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触。已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止。取g＝10 m/s²，求：

(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？

(2)棒ab受到的力F多大？

(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？

解析　(1)棒cd受到的安培力为F_cd＝IlB①

棒cd在共点力作用下平衡，则F_cd＝mgsin30°②

由①②式代入数值得：I＝1 A  ③

根据楞次定律可知，棒cd中电流方向由d至c。 ④

(2)棒ab与棒cd受到的安培力大小相等，F_ab＝F_cd

对棒ab，由共点力平衡条件得：F＝mgsin30°＋IlB⑤

代入数据解得：F＝0.2 N    ⑥

(3)设在时间t内棒cd产生Q＝0.1 J的热量，由焦耳定律知

Q＝I²Rt⑦

设棒ab匀速运动的速度大小为v，其产生的感应电动势

E＝Blv⑧

由闭合电路欧姆定律可知I＝⑨

根据运动学公式可知，在时间t内，棒ab沿导轨的位移

x＝vt⑩

则力F做的功W＝Fx⑪

联立以上各式，代入数值解得：W＝0.4 J

答案　(1)1 A，cd棒中的电流方向由d至c    (2)0.2 N (3)0.4 J

归纳总结：分析“杆和导轨”的模型要按照下述步骤分析

(1)先进行“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；

(2)再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相关部分的电流大小，以便求解安培力；

(3)然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；

(4)接着进行“运动”状态的分析和能量的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型及能量转化关系。

九、两类感应现象——感生和动生

例9  如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动．此时adeb构成一个边长为l的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计．开始时磁感应强度为B₀.

(1)若从t＝0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持棒静止．求棒中的感应电流．

(2)若从t＝0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度应怎样随时间变化(写出B与t的关系式)?

解析　(1)据题意：＝k

在磁场均匀变化时，回路上产生的电动势为

E＝＝·S＝kl²

由闭合电路欧姆定律，感应电流为I＝＝

(2)因为不产生感应电流，所以磁通量不变，即B₀l²＝Bl(l＋vt)

解得：B＝

答案　(1)　(2)B＝

十、电磁感应的综合问题

例10  如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R.两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R₂为一电阻箱，已知灯泡的电阻R_L＝4R，定值电阻R₁＝2R，调节电阻箱使R₂＝12R，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，求：

(1)金属棒下滑的最大速度v_m.

(2)当金属棒下滑距离为s₀时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热．

(3)改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

解析　(1)当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有mgsin α＝F_安

其中F_安＝BIL      I＝

其中R_总＝6R

所以mgsin α＝   解得最大速度v_m＝

(2)由动能定理W_G－Q＝mv得放出的电热Q＝2mgs₀sin α－mv

代入上面的v_m值，可得Q＝mgs₀－

(3)R₂上消耗的功率P₂＝其中U＝IR_并＝     R_并＝

又mgsin α＝

解得P₂＝×＝×

当R₂＝R_L＝4R时，R₂消耗的功率最大，最大功率P_2m＝

答案　(1)　(2)mgs₀－　(3)4R