第4节 单摆知识点归纳 知识点一 单摆及单摆的回复力 1．单摆 (1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈，所以单摆的回复力为F＝－x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。 3．单摆的运动特点 (1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力． (2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力． 知识点二 单摆的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2．单摆的周期 (1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。单摆的周期叫固有周期。 (2)单摆的周期公式在单摆偏角很小 时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。 (3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。 知识点三 单摆的“等效思维”
典例分析 单摆的规律
A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C．单摆经过平衡位置时合力为零 D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力 解析 单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故选项B正确，A、D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合力不为零，所以选项C错误． 答案 B 归纳总结：关于单摆的回复力的两点提醒 (1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处． (2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力． 自我检测 1．关于单摆，下列说法正确的是( ) A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力 B．摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的 C．摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的 D．摆球经过平衡位置时受力是平衡的 解析 摆球运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A错．根据简谐运动的特性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相同，也可能不同，加速度的大小、方向都相同，故B错，C对．摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，并不平衡，所以D错． 答案 C 2．如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T
A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变 B．摆球的振幅变小时，周期也变小 C．此摆由O →B运动的时间为 D．摆球由B→O时，动能向势能转化 解析 单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O →B运动的时间为，C正确；摆球由B→O时，势能转化为动能，D错误． 答案 AC 3．如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的xt关系的是( )
解析 由单摆的周期公式T＝2π可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振动周期的2倍，所以B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确． 答案 A 4．一个单摆的摆球运动到最大位移时，正好遇到空中竖直下落的雨滴(雨滴质量远小于摆球质量)，雨滴均匀附着在摆球的表面，则下列说法正确的是( ) A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大 B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小 C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大 D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大 解析 在最大位移处，雨滴落到摆球上，质量增大，同时摆球获得初速度，故摆球经过平衡位置时速度增大，单摆的振幅增大，由于雨滴质量远小于摆球质量，摆球仍做简谐运动，由于摆球质量及振幅不影响周期，则周期不变，故选项D正确． 答案 D 5.如图所示为演示简谐运动的沙摆，已知摆长为l，沙桶的质量为m，沙子的质量为M，M>m，沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的周期( )
A．不变 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．逐渐变大 解析 在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，则等效摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，沙摆的重心又重新上移，则等效摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故选B. 答案 B 6.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了所谓的双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )
A．2π B．2π C．2π D．2π 解析 这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的l与题中的细线长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，此题中单摆的等效摆长为lsin α，代入周期公式，可得T＝2π ，故选D. 答案 D 7.惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟，摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示．以下说法正确的是( )
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 解析 根据周期公式T＝2π知，当摆钟不准确时需要调整摆长，A正确；摆钟快了，周期小，则需将摆长增大，增大周期，B错误；由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移圆盘，C正确；摆钟从福建移到北京，重力加速度增大，则需将摆长增大，D错误． 答案 AC |
