|
第3节 简谐运动的回复力和能量 知识点归纳 知识点一、简谐运动的回复力 1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。 3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。 4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
5．简谐运动的回复力的特点 (1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置． (2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定． (3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反． 知识点二、简谐运动的能量 1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．简谐运动的特点： 如图所示的弹簧振子．
说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。 (1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小. (2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零； (3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同． (4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反． (5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点． (6)最大位移处是速度方向变化的转折点． (7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量． 4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。 6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。 典例分析 一、简谐振动
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________； (2)该小球的振动是否为简谐运动？ 解析 (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力． (2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg① 当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h) ② 将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动． 答案 (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动 归纳总结：判断是否为简谐运动的方法 (1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系． (2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析． (3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力． (4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动． 二、振动图像
(1)哪些时刻振子有最大动能？ (2)哪些时刻振子有相同速度？ (3)哪些时刻振子有最大势能？ (4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？ 解析 由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但方向相反．A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反． 答案 (1)B、D、F时刻振子有最大动能 (2)A、C、E时刻振子速度相同，B、F时刻振子速度相同 (3)A、C、E时刻振子有最大势能 (4)A、E时刻振子有相同的最大加速度 归纳总结：对简谐运动能量的三点认识 (1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大． (2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的． (3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒． 自我检测 1．关于简谐运动，下列说法正确的是( ) A．位移的方向总指向平衡位置 B．加速度方向总和位移方向相反 C．位移方向总和速度方向相反 D．速度方向总跟位移方向相同 解析 简谐运动的位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动过程中任一时刻的位移都是背离平衡位置的，故A选项错误；振子的加速度总是指向平衡位置的，而位移总是背离平衡位置的，故B选项正确；振子在平衡位置两侧往复运动，故C、D选项错误． 答案 B 2．做简谐运动的物体每次经过同一位置时，都具有相同的( ) A．加速度 B．动能 C．位移 D．速度
答案 ABC 3．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( ) A．振子的位移越来越大 B．振子正向平衡位置运动 C．振子速度与位移同向 D．振子速度与位移方向相反 解析 因振子速度越来越大，可判定振子正向平衡位置运动，而位移总是背离平衡位置的，因此速度与位移方向相反，所以选项A、C错误，选项B、D正确． 答案 BD 4．在图中，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是
A．振子的位移在减小 B．振子的运动方向向左 C．振子的位移方向向左 D．振子的位移在增大 解析 对简谐运动而言，其位移总是相对平衡位置O而言，所以C、D错误；由于振子在O点右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，位移大小不断减小，故A、B正确。 答案 AB 5．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是 A．做机械振动的物体必有一个平衡位置 B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 解析 物体在平衡位置附近的往复运动叫作机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，B正确，C、D错误。 答案 AB 6．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( ) A．振子所受的力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小 解析 根据弹簧振子做简谐运动的特点可知，在振子向平衡位置移动的过程中，位移逐渐减小，所受的力逐渐减小，A、B错误；振子速度逐渐变大，C错误；振子的加速度逐渐减小，D正确． 答案 D 7．如图所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动 B．质点在1.5 s时的位移最大 C．1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大 D．1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大 解析 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增加，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位置在减小，故D项错误。 答案 BC 8．如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是
A．振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm B．1 s末到5 s末振子的路程为10 cm C．2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同 D．振子在2 s内完成一次往复性运动 解析 由题图图象可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误。 答案 A 9.弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，则( )
A．在t＝1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零 B．在t＝2 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零 C．在t＝3 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大 D．在t＝4 s时，速度的值最大，方向为正，加速度为零 解析 当t＝1 s和t＝5 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项A错误；当t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2 s时，速度为负值，选项B正确；当t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；当t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D正确．] 答案 BD 10．图甲为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，图乙为弹簧振子的示意图，弹簧振子在F、G之间运动，E是振动的平衡位置，试根据图象分析以下问题：
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________(选填“E”“F”或“G”)，从初始位置开始，振子向________(选填“左”或“右”)运动。 (2)在图乙中，找出图象中的A、B、C、D点各对应振动过程中的哪个位置？A对应________，B对应________，C对应________，D对应________。 (3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时速度方向________(选填“相同”或“相反”)。 (4)振子在前4 s内的位移等于________。 解析 (1)由x－t图象知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时刻开始，振子向正方向运动，即向右运动。 (2)由x－t图象知：B点、D点对应平衡位置E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点。 (3)t＝2 s时，图线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，斜率为正，速度方向为正方向。故两时刻速度方向相反。 (4)4 s末振子回到平衡位置，故位移为零。 答案 (1)E 右 (2)G E F E (3)相反 (4)0 11．如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手后，小球做简谐运动，则：
(1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？ (2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？ 解析 (1)放手后小球到达平衡位置时，弹簧伸长了x，则mg＝kx，x＝，x也是振动过程中球离平衡位置的最大距离，所以小球从放手运动到最低点，下降高度为2x，即。 (2)小球在最高点时只受重力，其加速度为g，最低点和最高点对平衡位置的位移大小相等，故加速度大小相等为g。 答案 (1) (2)g |
