第2节　简谐运动的描述

知识点归纳

知识点一、简谐运动的物理量

1．振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，通常用字母A表示，是标量．

2．振子完成一次完整的振动过程称为一次全振动，不论从哪一位置开始计时，弹簧振子完成一次全振动所用的时间总是相同的．

3．做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用字母T表示．其物理意义是表示物体振动的快慢．

4．单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用字母f表示；其单位是赫兹，符号是Hz.

5．周期与频率的关系是T＝1/f.频率的大小表示振动的快慢．

6．用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量叫相位，当t＝0时的相位称做初相位，用字母φ表示．

知识点二、简谐运动的表达式

简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．

1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．

2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)．

3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．

4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．

5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ₁和φ₂，其相位差Δφ＝(ωt＋φ₂)－(ωt＋φ₁)＝φ₂－φ₁.

知识点三、对全振动的理解

1．全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动．如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。

2．注意把握全振动的四个特征

(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．

(1)时间特征：历时一个周期．

(1)路程特征：振幅的四倍．

(1)相位特征：增加2π.

知识点四、对振幅的理解

1．定义：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅．在国际单位制中，振幅的单位是米(m)．

2．振幅是标量，只有大小，没有方向，是用来表示振动强弱的物理量．

3．同一振动系统，系统的能量仅由振幅决定，振动越强，振幅就越大，振动能量也越多．

4．振幅与位移、路程的区别

(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；而位移是由平衡位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是运动路径的总长度，是标量．一个周期内的路程为振幅的四倍，半个周期内的路程为振幅的两倍．

(2)当物体做简谐运动时，振幅是定值；位移的大小和方向时刻都在变化；路程则会持续不断地增加．

知识点五、对周期和频率的理解

1．周期(T)和频率(f)都是标量，反映了振动的快慢，T＝，即周期越大，频率越小，振动越慢．

2．振动周期、频率由振动系统决定，与振幅无关．

3．全振动次数N与周期T和振动时间t的关系为N＝.

典例分析

一、路程和振幅

例1　如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求：

(1)振子振动的周期和频率；

(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小．

解析　(1)振子从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期T的一半，所以T＝1.0 s；f＝＝1.0 Hz.

(2)设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝5T内通过的路程s＝×4A＝200 cm.5 s内振子振动了5个周期，5 s末振子仍处在B点，所以它的位移大小为0.

答案　(1)1.0 s　1.0 Hz　(2)200 cm　0

归纳总结：(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A.

(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅．

(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于一倍振幅．

二、振动图像

例2　有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移．

(1)求该振子的振幅和周期；

(2)画出该振子的位移—时间图象；

(3)写出该振子的振动方程．

解析　(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10 cm，振子在2 s内完成了10次全振动，振子的周期T＝＝0.2 s.

(2)振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图象如图所示．

(3)由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为

x＝10sin(10πt＋π) cm.

答案　(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析  (3)x＝10 sin(10πt＋π) cm

归纳总结：(1)为了写出简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要画出其振动图象来解决问题．

(2)在给定振动图象条件下，可由图象直接读出振幅A、初相φ₀及周期T，从而写出位移与时间的关系式x＝Asin(ωt＋φ₀)．

自我检测

1．(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法，正确的是(　　)

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

解析 振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C错误，D正确．

答案 BD

2．周期为2 s的简谐运动，振子在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)

A．15,2 cm　　　　　　                  B．30,1 cm

C．15,1 cm                                      D．60,2 cm

解析 半分钟内全振动的次数n＝＝＝15，每次全振动经过平衡位置2次，故半分钟内通过平衡位置30次，振子完成一次全振动通过的路程为4A，则4A×15＝60 cm，A＝1 cm，只有B正确．

答案 B　

3．如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则(　　)

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期

B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期

C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期

D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期

解析 从经过某点(A、B点除外)开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错．振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错．

答案 B

4．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt cm，则下列判断正确的是(　　)

A．该简谐运动的周期是0.2 s

B．第1 s内质点运动的路程是100 cm

C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小

D．t＝0.6 s时刻质点的速度为0

解析　由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt cm，知圆频率ω＝5π rad/s，周期T＝＝＝0.4 s，故A错误；＝＝2.5,1个周期内质点运动的路程4A＝20 cm，所以第1 s内质点运动的路程是s＝2.5×20 cm＝50 cm，故B错误；0.4 s到0.5 s内质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，故C正确；t＝0.6 s时刻质点位移x＝5sin(5π×0.6)cm＝0，质点处于平衡位置，速度最大，故D错误．

答案 C

5．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是

A．x＝8×10^－3sin m                      B．x＝8×10^－3sin m

C．x＝8×10^－1sin m                       D．x＝8×10^－1sin m

解析　ω＝＝4π rad/s，当t＝0时，具有正的最大位移，

则x＝A，所以初相φ＝，表达式为x＝8×10^－3sin m，A正确。

答案　A

6．两个完全一样的弹簧振子A、B，把A振子移到A的平衡位置右边10 cm，把B振子移到B的平衡位置右边5 cm，然后同时放手，那么(　　)

A．A、B运动的方向总是相同的

B．A、B运动的方向总是相反的

C．A、B运动的方向有时相同、有时相反

D．无法判断A、B运动方向的关系

解析　由于弹簧振子的周期与振幅无关，只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关，由题意可知两个完全一样的弹簧振子的周期相同，则运动方向始终一致，故选A.

答案 A

7．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)

A．1∶1,1∶1　　　　　　                    B．1∶1,1∶2

C．1∶4,1∶4                                         D．1∶2,1∶2

解析 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1.

答案 B

8．(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x₁＝4sin cm，x₂＝5sincm，下列说法正确的是(　　)

A．它们的振幅相同

B．它们的周期相同

C．它们的相位差恒定

D．它们的振动步调一致

解析 它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期都是 s，选项B正确；由Δφ＝－＝得相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误．

答案 BC

9．一个简谐运动的振动方程为x＝5cos cm，这个振动的振幅是______ cm，频率是______ Hz；在t＝0.1 s时的相位是______；在1 s的时间内振子通过的路程是______ cm.

解析 振幅可直接由表达式读出，A＝5 cm，圆频率ω＝2π rad/s，由ω＝2πf知其频率f＝1 Hz.t＝0.1 s时，2πt＋＝0.2π＋＝π，即相位为π，因为f＝1 Hz，则T＝＝1 s，故1 s内通过的路程s＝4A＝4×5 cm＝20 cm.

答案 5　1　　20

10．根据如图所示的某振子的振动图象，完成下列问题：

(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移。

①t₁＝0.5 s；②t₂＝1.5 s。

(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin (ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位的大小。

解析　(1)由题图知，x＝Acos ωt＝10cos (t) cm＝10cos cm，

则t₁＝0.5 s时，x₁＝5 cm；t₂＝1.5 s时，x₂＝－5 cm。

(2)x＝10sin(t＋) cm，初相位φ＝。

答案　(1)5 cm　－5 cm　(2)x＝10sin cm