第3节　气体的等压变化和等容变化

知识点归纳

知识点一、气体的等容变化

1．等容变化：一定质量的某种气体，在体积不变时，压强随温度的变化叫做等容变化．

2．查理定律

(1)内容：一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强p与热力学温度T成正比．

(2)公式：①P＝CT或＝C(C是比例常数)．

②＝或＝(式中p₁、T₁和p₂、T₂分别表示1、2两个不同状态下的压强和热力学温度)．

(3)适用条件：一定质量的气体，体积不变．

(4)摄氏温标下，查理定律的表述：一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，气体温度每升高(或降低)1 ℃，增大(或减小)的压强等于气体在0 ℃时的压强的.用公式表示为：＝或p_t＝p₀，其中p_t是温度为t ℃时的压强，p₀是0 ℃时的压强．

3．查理定律的另外表述

压强与温度的比等于压强的变化与温度的变化之比，即＝.

证明：由＝得：＝，故＝，即＝，证毕．

4．等容过程的p—­T图象和p­—t图象

(1)p­—T图象：一定质量的某种气体，在等容过程中，气体的压强p和热力学温度T的关系图线是过原点的倾斜直线，如图甲所示，且V1＜V2，即体积越大，斜率越小．

(2)p­—t图象：一定质量的某种气体，在等容过程中，压强p与摄氏温度t是线性函数关系，不是简单的正比例关系．如图乙所示，等容线是一条延长线通过横轴t＝－273.15 ℃点的倾斜直线，且斜率越大，体积越小．图象纵轴的截距p0是气体在0 ℃时的压强．

(3)p­T图中比较体积大小的方法：过横轴上某点作一条平行于p轴的直线分别交V1、V2于A、B两点，如图丙所示．由玻意耳定律知VA＜VB，即V1＜V2.

知识点二、气体的等压变化

1．等压变化：一定质量的某种气体在压强不变时体积随温度的变化叫做等压变化．

2．盖—吕萨克定律

(1)内容：一定质量的某种气体，在压强不变的情况下，其体积V与热力学温度T成正比．

(2)公式：①V＝CT(C是比例常数)    ②＝或＝

式中V₁、T₁和V₂、T₂分别表示在1、2两个不同状态下的体积和温度．

(3)适用条件：一定质量的气体，压强不变．

(4)在摄氏温标下，盖—吕萨克定律的表述

一定质量的某种气体，在压强不变的情况下，温度每升高(或降低)1 ℃，增大(或减小)的体积等于它在0 ℃时体积的.数学表达式为：＝或V_t＝V₀

3．盖—吕萨克定律的另外表述

体积与温度的比等于体积的变化与温度的变化之比，即＝.

证明：由＝得：＝，故＝，即＝，证毕．

4．等压线

V­—T图象和V—­t图象

(1)V­—T图象：一定质量的某种气体，在等压过程中，气体的体积V和热力学温度T的图线是过原点的倾斜直线，如图甲所示，且p1＜p2，即压强越大，斜率越小．

(2)V­—t图象：一定质量的某种气体，在等压过程中，体积V与摄氏温度t是线性函数关系，不是简单的正比例关系．如图乙所示，图象纵轴的截距V0是气体在0 ℃时的体积，等压线是一条延长线通过横轴上t＝－273.15 ℃点的倾斜直线，且斜率越大，压强越小．

(3)在V­T图中比较压强大小的方法：过纵轴上某点作平行于T轴的直线分别交p1、p2于A、B两点，如图丙所示，由查理定律知pA＜pB，即p1＜p2.

知识点三、理想气体

1．定义：在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体叫做理想气体．

2．对理想气体的理解

(1)理解：

①理想气体是为了研究问题方便而提出的一种理想模型，是实际气体的一种近似，实际上并不存在，就像力学中的质点、电学中的点电荷模型一样．

②从宏观上讲，实际气体在压强不太大、温度不太低的条件下，可视为理想气体。而在微观意义上，理想气体是指分子本身大小与分子间的距离相比可以忽略不计且分子间不存在相互作用的引力和斥力的气体．

(2)特点

①严格遵守气体实验定律及理想气体状态方程．

②理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可以忽略不计，分子可视为质点．

③理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力，故无分子势能，理想气体的内能等于所有分子热运动动能之和，一定质量的理想气体内能只与温度有关．

知识点四、理想气体状态方程

1．理想气体遵循的规律：一定质量的理想气体的压强、体积的乘积与热力学温度的比值是一个常数．

2．理想气体的状态方程：＝或＝C(常量)

常量C仅由气体的种类和质量决定，与其他参量无关．

适用条件：该方程是在理想气体质量不变的条件下才适用，是一定质量理想气体三个状态参量的关系，与变化过程无关．

3．理想气体状态方程的推导

一定质量的某种理想气体由初态(p1、V1、T1)变化到末态(p2、V2、T2)，因气体遵从三个气体实验定律，我们可以从三个定律中任意选取其中两个，通过一个中间状态，建立两个方程，解方程消去中间状态参量便可得到理想气体状态方程．组合方式有6种，如图所示．

我们选“先等温、后等压”证明．

从初态→中间态，由玻意耳定律得p₁V₁＝p₂V′

从中间态→末态，由盖—吕萨克定律得＝

由以上两式消去V′得＝.

4．对理想气体状态方程的理解

(1)适用对象：一定质量的理想气体．

(2)应用理想气体状态方程的关键：对气体状态变化过程的分析和状态参量的确定，即“一过程六参量”．

(3)注意方程中各物理量的单位：T必须是热力学温度，公式两边中p和V单位必须统一，但不一定是国际单位制中的单位．

5．气体的三个实验定律是理想气体状态方程的特例：

(1)理想气体状态方程的分态式

①一定质量理想气体各部分的值之和在状态变化前后保持不变，用公式表示为＋＋…＝＋＋…

②一定质量的理想气体的值，等于其各部分值之和．用公式表示为＝＋＋…＋.

当理想气体发生状态变化时，如伴随着有气体的迁移、分装、混合等各种情况，使用分态式会显得特别方便．

(2)气体密度方程＝

对于一定质量的理想气体，在状态(p₁、V₁、T₁)时密度为ρ₁，则ρ₁＝.在状态(p₂、V₂、T₂)时密度为ρ₂，则ρ₂＝.将V₁＝、V₂＝代入状态方程＝得＝，此方程与质量无关，可解决变质量问题．

(3)克拉珀龙方程

某种理想气体，设质量为m，摩尔质量为M，则其理想气体状态方程为pV＝RT，式中R为摩尔气体常量，在国际单位制中R＝8.31 J/(mol·K)．这就是任意质量的理想气体的状态方程，也叫做克拉珀龙方程．从上式可以看出＝C中的恒量C由理想气体的质量、摩尔质量和摩尔气体常量决定.

知识点五、理想气体状态方程与气体图象

1．一定质量的理想气体的各种图象

2.理想气体状态方程与一般状态变化图象

基本方法：化“一般”为“特殊”，如图是一定质量的某种理想气体的状态变化过程A→B→C→A.

在V－T图线上，等压线是一簇延长线过原点的直线，过A、B、C三点作三条等压线分别表示三个等压过程p_A′<p_B′<p_C′，即p_A<p_B<p_C，所以A→B压强增大，温度降低，体积缩小，B→C温度升高，体积减小，压强增大，C→A温度降低，体积增大，压强减小．

典例分析

一、查理定律和盖—吕萨克定律的应用

例1 如图所示，汽缸A中封闭有一定质量的气体，活塞B与A的接触是光滑且不漏气的，B上放一重物C，B与C的总重为G，大气压为p0.当汽缸内气体温度是20 ℃时，活塞与汽缸底部距离为h1；求当汽缸内气体温度是100 ℃时，活塞与汽缸底部的距离是多少？

解析 以汽缸内气体为研究对象．初状态热力学温度T₁＝(273＋20) K＝293 K，

体积V₁＝h₁S；末状态热力学温度T₂＝(273＋100) K＝373 K．

由盖—吕萨克定律＝.求得V₂＝V₁＝h₁S.

变化后活塞与汽缸底部的距离为h₂＝＝h₁≈1.3h₁.

答案 1.3h1

二、液柱移动问题

例2 用如图所示的实验装置来研究气体等体积变化的规律．A、B管下端由软管相连，注入一定量的水银，烧瓶中封有一定量的理想气体，开始时A、B两管中水银面一样高，那么为了保持瓶中气体体积不变(　　)

A．将烧瓶浸入热水中时，应将A管向上移动

B．将烧瓶浸入热水中时，应将A管向下移动

C．将烧瓶浸入冰水中时，应将A管向上移动

D．将烧瓶浸人冰水中时，应将A管向下移动

解析  将烧瓶浸入热水中时，A项正确；将烧瓶浸入冰水中时，气体温度降低，压强减小，要维持体积不变，应将A管向下移动，D项正确．

答案  AD

三、活塞问题

例3 用销钉固定的活塞把容器分成A、B两部分，其容积之比VA∶VB＝2∶1，如图所示，起初A中有温度为127 ℃、压强为1.8×105 Pa的空气，B中有温度为27 ℃，压强为1.2×105 Pa的空气，拔去销钉，使活塞可以无摩擦地移动但不漏气，由于容器壁缓慢导热，最后都变成室温27 ℃，活塞也停住，求最后A、B中气体的压强．

解析 对A气体，初态：p_A＝1.8×10⁵ Pa，T_A＝(273＋127) K＝400 K.

末态：T_A′＝(273＋27) K＝300 K，

由理想气体状态方程＝得：＝①

对B气体，初态：p_B＝1.2×10⁵ Pa，T_B＝300 K.

末态：T_B′＝(273＋27) K＝300 K.

由理想气体状态方程＝得：＝②

又V_A＋V_B＝V_A′＋V_B′③

V_A∶V_B＝2∶1④

p_A′＝p_B′⑤

由①②③④⑤得p_A′＝p_B′＝1.3×10⁵ Pa.

答案 1.3×105 Pa

四、气体状态变化的图象问题

例4  使一定质量的理想气体按图中箭头的顺序变化，图线BC是一段双曲线．

(1)已知气体在状态A的温度TA＝300 K，求气体在状态B、C和D的温度各是多少？

(2)将上述状态变化过程改画成V­T图，并标明A、B、C、D四点，并且要画箭头表示变化方向．说明每段图线各表示什么过程．

解析 (1)由p­V图上可直观地看出，气体在A、B、C、D各状态下的体积和压强分别为：V_A＝10 L，V_B＝20 L，V_C＝40 L，V_D＝20 L，p_A＝p_B＝4 atm，p_C＝p_D＝2 atm.

根据理想气体状态方程得＝＝＝，T_A＝300 K，

由上述方程解得：T_B＝T_C＝600 K，T_D＝300 K.

(2)在V­T图中将A、B、C、D四点的V、T值分别描绘在图上，则其V­T图如下图所示．AB过程是等压膨胀过程，BC是等温膨胀过程，CD是等压压缩过程．

答案 见解析

自我检测

1．对于一定质量的气体，在体积不变时，压强增大到原来的二倍，则气体温度的变化情况是(　　)

A．气体的摄氏温度升高到原来的二倍

B．气体的热力学温度升高到原来的二倍

C．气体的摄氏温度降为原来的一半

D．气体的热力学温度降为原来的一半

解析　一定质量的气体体积不变时，压强与热力学温度成正比，即＝，得T₂＝＝2T₁，B正确．

答案　B

2．一定质量的理想气体，在压强不变的情况下，温度由5 ℃升高到10 ℃，体积的增量为ΔV₁；温度由10 ℃升高到15 ℃，体积的增量为ΔV₂，则(　　)

A．ΔV₁＝ΔV₂     B．ΔV₁>ΔV₂           C．ΔV₁<ΔV₂      D．无法确定

解析　由盖—吕萨克定律＝可得＝，即ΔV＝V₁，所以ΔV₁＝×V₁，ΔV₂＝×V₂(V₁、V₂分别是气体在5 ℃和10 ℃时的体积)，而＝，所以ΔV₁＝ΔV₂，A正确．

答案　A

3．如图所示，一定质量的空气被水银封闭在静置于竖直平面的U形玻璃管内，右管上端开口且足够长，右管内水银面比左管内水银面高h，能使h变大的原因是(　　)

A．环境温度升高                 B．大气压强升高

C．沿管壁向右管内加水银         D．U形玻璃管自由下落

解析　对左管被封气体：p＝p₀＋p_h，由＝k，可知当温度T升高，大气压p₀不变时，h增加，故A正确；大气压升高，h减小，B错；向右管加水银时，由温度T不变，p₀不变，V变小，p增大，即h变大，C正确；U形管自由下落，水银完全失重，气体体积增加，h变大，D正确．

答案　ACD

4．对于一定质量的理想气体，下列状态变化中可能的实现是(　　)

A．使气体体积增加而同时温度降低

B．使气体温度升高，体积不变、压强减小

C．使气体温度不变，而压强、体积同时增大

D．使气体温度升高，压强减小、体积减小

解析　由理想气体状态方程＝恒量得A项中只要压强减小就有可能，故A项正确；而B项中体积不变，温度与压强应同时变大或同时变小，故B项错；C项中温度不变，压强与体积成反比，故不能同时增大，故C项错；D项中温度升高，压强减小，体积减小，导致减小，故D项错误．

答案　A

5．一定质量的理想气体，初始状态为p、V、T，经过一系列状态变化后，压强仍为p，则下列过程中可以实现的是(　　)

A．先等温膨胀，再等容降温         B．先等温压缩，再等容降温

C．先等容升温，再等温压缩         D．先等容降温，再等温压缩

解析　根据理想气体状态方程＝C，若经过等温膨胀，则T不变，V增加，p减小，再等容降温，则V不变，T降低，p减小，最后压强p肯定不是原来值，A错，同理可以确定C也错，正确选项为B、D.

答案　BD

6．如图所示，在p－T坐标系中的a、b两点，表示一定质量的理想气体的两个状态，设气体在状态a时的体积为V_a，密度为ρ_a，在状态b时的体积为V_b，密度为ρ_b，则(　　)

A．V_a>V_b，ρ_a>ρ_b     B．V_a<V_b，ρ_a<ρ_b       C．V_a>V_b，ρ_a<ρ_b    D．V_a<V_b，ρ_a>ρ_b

解析　过a、b两点分别作它们的等容线，由于斜率k_a>k_b，所以V_a<V_b，由于密度ρ＝，所以ρ_a>ρ_b，故D正确．

答案　D

7．在下列图中，不能反映一定质量的理想气体经历了等温变化→等容变化→等压变化后，又可以回到初始状态的图是(　　)

 

解析　根据p－V、p－T、V－T图象的意义可以判断，其中D项显示的是理想气体经历了等温变化→等压变化→等容变化，与题意不符．

答案　D

8．如图所示，A、B两点代表一定质量理想气体的两个不同的状态，状态A的温度为T_A，状态B的温度为T_B.由图可知(　　)

A．T_A＝2T_B      B．T_B＝4T_A         C．T_B＝6T_A        D．T_B＝8T_A

解析　从p－V图上可知T_B>T_A.为确定它们之间的定量关系，可以从p－V图上的标度值代替压强和体积的大小，代入理想气体状态方程＝，即＝，故T_B＝6T_A.

答案　C

9．一定质量的某种气体在等容变化过程中，已知0 ℃的压强为p₀，求温度为t ℃时压强为多大？并判断温度每上升1 ℃，压强增加数值有何特点？

解析　设温度为t ℃时压强为p，由查理定律知＝

即＝，所以p＝p₀.

变形得＝p₀.即温度每升高1 ℃，压强的增加数值都相等，为0 ℃压强的.

答案　p₀，数值相等，为0 ℃压强的

10．一水银气压计中混进了空气，因而在27 ℃，外界大气压为758 mmHg时，这个水银气压计的读数为738 mmHg，此时管中水银面距管顶80 mm，当温度降至－3 ℃时，这个气压计的读数为743 mmHg，求此时的实际大气压值为多少mmHg?

解析　画出该题始、末状态的示意图：

分别写出初、末状态的状态参量：p₁＝758 mmHg－738 mmHg＝20 mmHg

V₁＝(80 mm)·S(S是管的横截面积)

T₁＝(273＋27) K＝300 K

p₂＝p－743 mmHg

V₂＝(738＋80)mm·S－743(mm)·S＝75(mm)·S

T₂＝(273－3)K＝270 K

将数据代入理想气体状态方程：＝

解得p＝762.2 mmHg.

答案　762.2 mmHg

11．内径均匀的L形直角细玻璃管，一端封闭，一端开口竖直向上，用水银柱将一定质量空气封存在封闭端内，空气柱长4 cm，水银柱高58 cm，进入封闭端长2 cm，如图所示，温度是87 ℃，大气压强为75 cmHg，求：

(1)在图示位置空气柱的压强p₁.

(2)在图示位置，要使空气柱的长度变为3 cm，温度必须降低到多少度？

解析　(1)p₁＝p₀＋p_h＝(75＋58)cmHg＝133 cmHg.

(2)对空气柱：初态：p₁＝133 cmHg，V₁＝4S，

T₁＝(273＋87)K＝360 K.

末态：p₂＝p₀＋p_h′＝(75＋57)cmHg＝132 cmHg，V₂＝3S.

由＝代入数值，解得：T₂＝268 K＝－5 ℃.

答案　(1)133 cmHg　(2)－5 ℃

12．电灯泡内充有氦氩混合气体，如果要使电灯泡内的混合气体在500 ℃时的压强不超过一个大气压，则在20 ℃的室温下充气，电灯泡内气体压强至多能充到多大？

解析　由于电灯泡容积不变，故气体为等容变化，

设500 ℃时压强为p₁，t₂＝20 ℃时的压强为p₂.

由题意可知：T₁＝(500＋273)K＝773 K

p₁＝1 atm　T₂＝(20＋273) K＝293 K　p₂＝？

由查理定律：＝，所以p₂＝T₂＝×293 atm＝0.38 atm.

答案　0.38 atm

13．一容器中装有某种气体，且容器上有一小孔跟外界大气相通，原来容器内气体的温度为27 ℃，如果把它加热到127 ℃，从容器中逸出的空气质量是原来质量的多少倍？

解析　设逸出的气体被一个无形的膜所密闭，以容器中原来的气体为研究对象，初态V₁＝V，T₁＝300 K；末态V₂＝V＋ΔV，T₂＝400 K，

由盖—吕萨克定律＝，得＝，

代入数据得ΔV＝，

又因为m＝ρV，故＝＝＝.

答案　倍