第2节　法拉第电磁感应定律

知识点归纳

知识点一、法拉第电磁感应定律

1．感应电动势．

(1)定义：当闭合回路中磁通量发生变化时，线路中产生感应电流，则必然有电动势，此电动势叫感应电动势．

(2)产生条件：不管电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量发生变化，电路中就会产生感应电动势．

2．感应电动势的大小——法拉第电磁感应定律．

(1)定律内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁

通量的变化率成正比，即E＝k.在国际单位制中，E的单位为 V，ΔΦ的单位为Wb，Δt的单位为 s，则k＝1，所以E＝.

(2)对定律的五点理解．

①感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率，而与Φ的大小、ΔΦ的大小没有必然的关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与E回路总电阻R有关．

②磁通量的变化率，是Φ－t图象上的某点切线的斜率．

③若穿过线圈的磁通量发生变化，且线圈的匝数为n，则感应电动势表达式E＝n.

④磁通量发生变化的三种方式：一是磁感应强度B不变，垂直于磁场的回路面积发生变化：ΔS＝|S₂－S₁|，此时E＝nB；二是垂直于磁场的回路面积S不变，磁感应强度发生变化：ΔB＝|B₂－B₁|，此时E＝nS，其中叫磁感应强度的变化率，等于B－t图象某点切线的斜率；三是磁感应强度和线圈的面积均不变，而线圈绕过线圈平面内的某一轴转动，此时E＝n.

⑤公式E＝n中，若Δt取一段时间，则E为Δt这段时间内的平均值．当磁通量的变化率不是均匀变化的，平均电动势一般不等于初态与末态电动势的算术平均值．若Δt趋近于零，则E为瞬时值，故此式多用于求电动势的平均值．

知识点二、对比磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率

知识点三、导体切割磁感线时的电动势

1．导体垂直切割磁感线时．

如下图所示，导体棒ab在间距为L的两导轨上以速度v垂直磁感线运动，磁场的磁感应强度为B.试分析导体棒ab运动时产生的感应电动势多大．

这属于闭合电路面积的改变引起磁通量的变化，进而导致感应电动势的产生．

由法拉第电磁感应定律知，在时间t内E＝＝·B＝·B＝BLv，即E＝BLv.

说明：E＝BLv通常用来计算瞬时感应电动势的大小．

2．导体不垂直切割磁感线时．

若导体不是垂直切割磁感线，即v与B有一夹角θ，如下图所示，此时可将导体的速度v向垂直于磁感线和平行于磁感线两个方向分解，则分速度v2＝vcos θ不使导体切割磁感线，使导体切割磁感线的是分速度v1＝vsin θ，从而使导体产生的感应电动势为：E＝BLv1＝BLvsin θ.

上式即为导体不垂直切割磁感线时，感应电动势大小的计算式．

3．在公式E＝BLv或E＝BLvsin θ中，L是指有效长度，在下图中，半径为r的半圆形导体垂直切割磁感线时，感应电动势E＝BLv≠2Brv.

4．在下图中，长为L的导体棒垂直切割磁感线时，其感应电动势E＝BLvsin θ≠BLv.

5．公式E＝n与E＝BLvsin θ的区别及联系.

形式比较内容		E＝n	E＝BLvsin θ
区 别	研究对象不同	一个回路	在磁场中运动的一段导体
	适用范围不同	具有普遍性，无论什么方式引起Φ的变化都适用	只适用于一段导线切割磁感线的情况
	条件不同	不一定是匀强磁场．	匀强磁场L、v、B应取两两互相垂直的分量，可采用投影的办法
区 别	物理意义不同	求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应	求的是瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置对应(代入时也可计算平均电动势)
联系		(1)E＝BLvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的．(2)B、L、v三者均不变时，在Δt时间内的平均感应电动势才和它的瞬时电动势相同.

典例分析

一、法拉第电磁感应定律的理解

例1 有一个100匝的线圈，其横截面是边长为L＝0.20 m的正方形，放在磁感应强度B＝0.50 T的匀强磁场中，线圈平面与磁场垂直．若将这个线圈横截面的形状在5 s内由正方形改变成圆形(横截面的周长不变)，在这一过程中穿过线圈的磁通量改变了多少？磁通量的变化率是多少？线圈的感应电动势是多少？

解析　线圈横截面是正方形时的面积S1＝L2＝(0.20)2 m2＝4.0×10－2 m2.

穿过线圈的磁通量Φ1＝BS1＝0.50×4.0×10－2 Wb＝2.0×10－2 Wb

截面形状为圆形时，其半径r＝＝

截面积大小S₂＝π()²＝ m²

穿过线圈的磁通量：Φ₂＝BS₂＝0.50× Wb≈2．55×10^－2 Wb

所以，磁通量的变化量ΔΦ＝Φ2－Φ1＝(2.55－2.0) ×10－2 Wb＝5.5×10－3 Wb.

磁通量的变化率＝ Wb/s＝1.1×10^－3 Wb/s.

感应电动势为：E＝n＝100×1.1×10^－3 V＝0.11 V.

答案　5.5×10－3 Wb　1.1×10－3 Wb/s　0.11 V

归纳总结：磁通量、磁通量的变化量和磁通量的变化率，三者均与线圈的匝数无关．对n匝线圈，穿过每一匝线圈的磁通量的变化率都相同，每一匝线圈的电动势都相等，相当于n个电动势相同的电源串联，即感应电动势的大小与匝数n有关．

二、法拉第电磁感应定律的灵活应用

例2  如图所示，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨．空间存在垂直于纸面的均匀磁场．用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是(　　)

  

解析　设图示位置时a距棒的距离为l0，导体棒匀速切割磁感线的速度为v，单位长度金属棒的电阻为R0，导轨夹角为θ，运动时间t时，切割磁感线的导体棒长度l＝2(l0＋vt)tan，有效电路中导体棒长度l总＝l＋，

导体棒切割磁感线产生的感应电动势e＝Blv＝2Bv(l₀＋vt)tan ，电路中总电阻R＝R₀l_总＝R₀，

所以i＝＝＝，

即i为恒定值与t无关，选项A正确．

答案　A

归纳总结：1．明确电路结构，分清内、外电路．

2．根据产生感应电动势的方式计算感应电动势的大小，如果是磁场变化，由E＝n计算；如果是导体切割磁感线，由E＝Blv计算，且注意B、l和v随时间的变化关系．

3．根据楞次定律判断感应电流的方向．

4．根据闭合电路欧姆定律列出相应的方程式．

三、公式E＝n与E＝BLvsin θ的区别

例3  如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是(　　)

A．感应电流方向不变              B．CD段始终不受安培力

C．感应电动势最大值E＝Bav       D．感应电动势平均值E＝πBav

解析　在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，A正确．根据左手定则可以判断，CD段受安培力向下，B不正确．当半圆闭合回路进入磁场一半时，等效长度最大为a，这时感应电动势最大为E＝Bav，C正确．感应电动势平均值E＝＝＝πBav，D正确．

答案　ACD

 

归纳总结：(1)感应电流的方向可由楞次定律或右手定则判定．

(2)安培力的方向可由左手定则判定．

(3)感应电动势的瞬时值可由E＝Blv求解．

(4)感应电动势的平均值可由E＝n求解．

自我检测

1．将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是(　　)

A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关

B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大

C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大

D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同

解析 根据法拉第电磁感应定律E＝nS，在其他条件不变的情况下，感应电动势的大小与线圈匝数成正比，A错；由上式可知，在n，S不变的情况下(穿过线圈的磁通量)变化越快，E越大，B错，C对；由于不知道原磁场的磁通量是变大还是变小，所以也就不知道感应电流产生的磁场方向与原磁场方向是相同还是相反，D错．

答案 C

2．有一个n匝的圆形线圈，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面与磁感线成30°角，磁感应强度均匀变化，线圈导线的规格不变，下列方法可使线圈中的感应电流增加一倍的是(　　)

A．将线圈匝数增加一倍

B．将线圈面积增加一倍

C．将线圈半径增加一倍

D．将线圈平面转至跟磁感线垂直的位置

解析　将线圈匝数增加一倍时，线圈中的感应电动势增加一倍，但是由于线圈匝数的增加还会引起线圈电阻的增加，使电阻也增加了一倍，所以感应电流没有发生变化，A选项错误．将线圈面积增加一倍，感应电动势也增加了一倍，但是还是因为面积的增加会对线圈的电阻产生影响，导线的长度增加，使电阻也增加为原来的倍．将线圈半径增加一倍时，面积增大为原来的四倍，感应电动势增加为原来的四倍，电阻增加为原来的二倍，所以感应电流增加一倍，选项C正确．当线圈平面转到跟磁感线方向垂直时，线圈的有效面积变为原来的二倍，感应电动势变为原来的二倍，其它条件不变，感应电流变为原来的二倍．

答案　CD

3．穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图象分别如图中的甲～丁所示．下列关于回路中产生的感应电动势的论述中正确的是(　　)

A．图甲中回路产生的感应电动势恒定不变

B．图乙中回路产生的感应电动势一直在变大

C．图丙中回路在0～t₁时间内产生的感应电动势小于在t₁～t₂时间内产生的感应电动势

D．图丁中回路产生的感应电动势先变小后变大

解析 根据法拉第电磁感应定律：感应电动势等于磁通量的变化率，得到在图甲中的磁通量不变，所以不会产生感应电动势，选项A错误．由数学知识得图乙中的磁通量变化率是恒定的，所以产生的感应电动势是恒定的，选项B错误．图丙中回路在0～t₁时间内与t₁～t₂时间内磁通量的变化率都是恒定的，故产生恒定的电动势，但是0～t₁时间内的磁通量的变化率大于t₁～t₂时间内磁通量的变化率，所以前一段时间内产生的感应电动势大于后一段时间内产生的感应电动势，选项C错误．图丁中的磁通量的变化率是先变小后变大，产生的感应电动势也是先变小后变大．所以本题的正确选项应该为D.

答案 D

4．如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E₁；若磁感应强度增为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E₂.则通过电阻R的电流方向及E₁与E₂之比E₁∶E₂分别为(　　)

A．c→a,2∶1   B．a→c,2∶1

C．a→c,1∶2   D．c→a,1∶2

解析 由右手定则判断可知，MN中产生的感应电流方向为N→M，则通过电阻R的电流方向为a→c.MN产生的感应电动势公式为E＝BLv，其他条件不变，E与B成正比，则得E₁∶E₂＝1∶2.

答案 C

5．如下图所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒上感应电动势E随时间t变化的图象，可能正确的是(　　)

解析 金属棒PQ在进磁场前和出磁场后，不产生感应电动势，而在磁场中，由于匀速运动所以产生的感应电动势不变，故正确选项为A.

答案 A

6．一矩形线圈abcd位于一随时间变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面向里(如图甲所示)，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示．以I表示线圈中的感应电流(图甲中线圈上箭头方向为电流的正方向)，则图丙中能正确表示线圈中电流I随时间t变化规律的是(　　)

解析 0～1 s内磁感应强度均匀增大，根据楞次定律和法拉第电磁感应定律可判定，感应电流为逆时针(为负值)、大小为定值，A、B错误；4 s～5 s内磁感应强度恒定，穿过线圈abcd的磁通量不变化，无感应电流，D错误．

答案 C

7．如下图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一水平放置的金属棒ab以水平初速度v₀抛出，设在整个过程中棒的方向不变且不计空气阻力，则在金属棒运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是(　　)

A．越来越大　　　　　　　　B．越来越小

C．保持不变                D．无法判断

解析 金属棒水平抛出后，在垂直于磁场方向上的速度不变，由E＝BLv知，电动势也不变，故C正确．

答案 C

8．一个200匝、面积20 cm²的圆线圈，放在匀强磁场中，磁场的方向与线圈平面成30°角，磁感应强度在0.05 s内由0.1 T增加到0.5 T．在此过程中，穿过线圈的磁通量变化量是________，磁通量的平均变化率是________，线圈中感应电动势的大小为________．

解析　ΔΦ＝Ф₂－Ф₁＝B₂Ssin θ－B₁Ssin θ＝4×10^－4 Wb

＝ Wb/s＝8×10^－3 Wb/s

E＝n＝200×8×10^－3 V＝1.6 V

答案　4×10^－4 Wb　8×10^－3 Wb/s　1.6 V

9．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为多少．(重力加速度g取10 m/s²，sin 37°＝0.6)

解析 导体棒做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得：mgsin θ＝μmgcos θ＋

解得：v＝5 m/s；

导体棒产生的感应电动势 E＝BLv, 电路电流 I＝，

灯泡消耗的功率P＝I²R，解得：P＝1 W.

答案 见解析

10．如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直．一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放．导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I.整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻．求：

(1) 磁感应强度的大小B；

(2) 电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；

(3) 流经电流表电流的最大值I_m.

解析 (1)电流稳定后，导体棒做匀速运动：BIL＝mg，①

解得：B＝.②

(2)感应电动势  E＝BLv，③

感应电流  I＝，④

由②③④解得：v＝.

(3)由题意知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为v_m.

机械能守恒 mv＝mgh，

感应电动势的最大值 E_m＝BLv_m，

感应电流的最大值 I_m＝ ，

解得：I_m＝.

答案 见解析

11．如图所示，用相同的均匀导线制成的两个圆环a和b，已知b的半径是a的两倍，若在a内存在着随时间均匀变化的磁场，b在磁场外，MN两点间的电势差为U；若该磁场存在于b内，a在磁场外，MN两点间的电势差为多少？(MN在连接两环的导线的中点，该连接导线的长度不计)

解析 磁场的变化引起磁通量的变化，从而使闭合电路产生感应电流．

由题意，磁场随时间均匀变化，设磁场的变化率为，a的半径为r，则b的半径为2r，线圈导线单位长电阻为R₀.

线圈a的电阻为R_a＝2πrR₀，线圈b的电阻为

R_b＝4πrR₀.因此有R_b＝2R_a.

当线圈a在磁场中时，a相当于电源，根据法拉第电磁感应定律，电动势为E_a＝πr²，

当线圈b在磁场中时，b相当于电源，所以，E_b＝π(2r)²＝4E_a，

U是a为电源时的路端电压，由闭合电路欧姆定律，U＝R_b，

设U_b是b为电源时的路端电压，同理有U_b＝R_a，将上面各式联立解得：U_b＝2U.

答案 2U

12．匀强磁场的磁感应强度B＝0.2 T，磁场宽度l＝3 m，一正方形金属框边长ad＝l′＝1 m，每边的电阻r＝0.2 Ω，金属框以v＝10 m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如下图所示．求：

(1)画出金属框穿过磁场区域的过程中，金属框内感应电流的I－t图线；

(2)画出ab两端电压的U－t图线．

解析 线框的运动过程分为三个阶段：第一阶段cd相当于电源，ab为等效外电路；第二阶段cd和ab相当于开路时两并联的电源；第三阶段ab相当于电源，cd相当于外电路，如下图所示．

在第一阶段，有I₁＝＝＝2.5 A.

感应电流方向沿逆时针方向，持续时间为t₁＝＝ s＝0.1 s.

ab两端的电压为U₁＝I₁·r＝2.5×0.2 V＝0.5 V.

在第二阶段，有I₂＝0，U₂＝E＝Bl′v＝2 V，t₂＝0.2 s.

在第三阶段，有I₃＝＝2.5 A.

感应电流方向为顺时针方向．

U₃＝I₃×3r＝1.5 V，t₃＝0.1 s.

规定逆时针方向为电流正方向，故It图象和ab两端的Ut图象分别如下图所示．

答案 (1)图1　(2)图2