第二章 机械振动

第1节　简谐运动

知识点归纳

知识点一、弹簧振子

1．平衡位置：振子原来静止时的位置．

2．机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动．

3．弹簧振子：由小球和弹簧组成的系统，是一种理想模型．如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该系统为弹簧振子．

4．实际物体看作弹簧振子的条件

(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，弹簧的质量可以忽略，认为质量集中于振子(小球)；

(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；

(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；

(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内．

知识点二、弹簧振子的位移—时间图象

1．建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．

2．位移—时间图象：横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，如图所示．它反映了弹簧振子的位移随时间变化的规律．

知识点三、简谐振动

1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．

2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．

3．图象的应用：医院里的心电图、地震仪中绘制地震曲线的装置．

4．简谐运动的位移

位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．

5．简谐运动的速度

(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．

(2)特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．

6．简谐运动的加速度

(1)计算方法：式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移，“－”表示加速度的方向与位移的方向相反．

(2)特点：加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变．

7．速度、位移、加速度三者之间的关系

(1)大小变化关系：位移变大，加速度变大，速度变小；反之，位移变小，加速度变小，速度变大．

(2)是否唯一性关系：位移确定，加速度唯一确定，而速度(方向)不能唯一确定；速度确定(最大除外)，位移和加速度的大小唯一确定，但方向不能唯一确定．

知识点四、简谐运动的x－t图象的理解

1．形状：正(余)弦曲线．

2．物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．

3．根据振动图象

(1)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．

(2)从振动图象上可直接读出正(负)位移的最大值．

(3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．

典例分析

一、机械振动、简谐运动的概念的理解

例1  关于简谐运动，下列说法正确的是(　　)

A．简谐运动一定是水平方向的运动

B．所有的振动都可以看作是简谐运动

C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线

D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动

解析　物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线，C错；物体振动的图象是正弦曲线，一定是做简谐运动，D对．

答案　D

二、简谐运动速度、位移、加速度特点

例2  一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是(　　)

A．振子经过平衡位置时，速度为零

B．振子对平衡位置的加速度相同时，振子的位移一定相同

C．振子对平衡位置的速度相同时，振子的位移一定相同

D．振子的位移在增大，其加速度可能在增大，也可能在减小

解析　振子经过平衡位置时，速度最大，加速度为零，A项错误；振子对平衡位置的加速度相同，即振子在同一位置，故位移相同，B项正确；速度相同时，位置有两点，故位移一定不同，C项错误；振子的位移在增大，说明振子离平衡位置越来越远，则加速度一定在增大，D项错误．

答案　B

三、简谐运动的特点

例3  一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)

A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

解析　如图所示，设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正．在振子由O向A运动过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A错误．振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B错误．当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C错误，D正确．

答案　D

四、简谐运动的对称性

例4  物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体(　　)

A．在A点和A′点的位移相同

B．在两点处的速度可能相同

C．在两点处的加速度可能相同

D．在两点处的动能一定相同

解析　根据简谐运动的特点可知关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，选项A错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项B正确；物体的加速度大小相等、方向相反，选项C错误；由于速度大小相等，动能自然相同，选项D正确．

答案　BD

五、简谐运动的图象

例5  一质点做简谐运动，如图所示，在0.1 s到0.2 s这段时间内质点的运动情况是(　　)

A．沿负方向运动，速度和加速度不断增大

B．沿负方向运动，位移和加速度不断增大

C．沿正方向运动，速度和加速度不断增大

D．沿正方向运动，位移和加速度不断增大

解析　由图象可看出，在0.1 s至0.2 s这段时间内，质点沿负方向的位移不断增大，说明质点正沿负方向运动，速度减小，位移增大，加速度增大．故选B.

答案　B

自我检测

1．从运动特点及运动的性质来看，简谐运动是一种(　　)

A．匀速运动

B．变速运动

C．匀变速运动

D．加速度不断变化的运动

解析 由于做简谐运动的物体位移随时间的变化规律为正弦规律，由此可得，该物体的速度、加速度的大小和方向都做周期性的变化，故A、C错，B、D对．

答案 BD

2．下列运动属于机械振动的是(　　)

A．说话时声带的运动

B．弹簧振子在竖直方向的上下运动

C．体育课上同学进行25米折返跑

D．竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动

解析　机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．体育课上同学进行25米折返跑不是在平衡位置两侧的往复运动，故C错误；易知A、B、D正确．

答案 ABD

3．在如图所示，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是

A．振子的位移在减小　　　                   B．振子的运动方向向左

C．振子的位移方向向左                        D．振子的位移在增大

解析　对简谐运动而言，其位移总是相对平衡位置O而言，所以C、D错误；由于振子在O点右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，位移大小不断减小，故A、B正确。

答案　AB

4．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是

A．做机械振动的物体必有一个平衡位置

B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析　物体在平衡位置附近的往复运动叫作机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，B正确，C、D错误。

答案　AB

5．质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中做机械振动的是(　　)

解析 机械振动的特点是：质点在其平衡位置附近做往复运动，位移发生周期性的变化，由图知，选项A、B、C正确，选项D错误．

答案 ABC

6．关于简谐运动，下列说法正确的是(　　)

A．简谐运动一定是水平方向的运动

B．所有的振动都可以看做是简谐运动

C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形状的轨迹线

D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动

解析 物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，只是振动的表现形式之一，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不是正弦曲线，C错；若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定是做简谐运动，D对．

答案 D　

7．如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中

A．位移方向向左，速度方向向左

B．位移方向向左，速度方向向右

C．位移不断增大，速度不断减小

D．位移不断减小，速度不断增大

解析　在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大，A、C错误；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确。

答案　BD

8．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内(　　)

A．振子的位移越来越大

B．振子正向平衡位置运动

C．振子速度与位移方向相同

D．振子速度与位移方向相反

解析 弹簧振子在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错，B对；位移方向是从平衡位置指向振子所在位置，故二者方向相反，C错，D对．

答案 BD

9．一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图a所示，它的振动图象如图b所示，设向右为正方向，则：

(1)OB＝________cm；

(2)第0.2 s末质点的速度方向是________，位移大小为________；

(3)第0.7 s时，质点位置在________点与________点之间；

(4)质点从O经B运动到A所需时间t＝________s；

(5)质点在0.2 s到0.8 s内运动的路程为________cm.

解析 (1)OB＝5  cm.

(2)在第0.2 s末质点沿x轴负方向运动，即速度向左，此时正处在平衡位置，位移大小为0.

(3)第0.7 s时，质点正由平衡位置向正向最大位移处运动，即在O点与B点之间．

(4)由图象知，由质点O到B需0.2 s，由对称性可知从O经B运动到A所需时间 t＝0.6 s.

(5)由图象知，质点由O点到B点位移为 5 cm，由对称性可知质点在0.2 s到0.8 s的运动路程为15 cm.

答案 (1)5　(2)向左　0　(3)O　B　(4)0.6　(5)15