第2节　波的描述

知识点归纳

知识点一、波的图像

1．图像的建立：横坐标x表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置．纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移．

2．简谐波(正弦波)：如图：波形图线是正弦曲线，叫正弦波，也叫简谐波．

简谐波中的质点都做简谐运动．

3．波的图像信息

(1)确定位移：可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移．

(2)确定振幅：介质各点的振幅A是波动图像上纵坐标最大值的绝对值．

(3)从图像中可以看出波长．

(4)从图像中可以间接地比较各质点在该时刻的振动速度、动能、势能、回复力、加速度等量的大小．

(5)如已知波的传播速度，可利用图像所得的相关信息进一步求得各质点振动的周期和频率．

(6)若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向，并判断位移、加速度、速度、动能的变化。常用方法：

①上、下坡法：沿波的传播方向看，“上坡”的点向下运动，“下坡”的点向上运动，简称“上坡下，下坡上”，如图所示。

②带动法

原理：先振动的质点带动邻近的后振动的质点。

方法：如图所示，在质点P靠近波源一方附近的图象上另找一点P′，若P′在P上方，则P向上运动，若P′在P下方，则P向下运动。

③微平移法

原理：波向前传播，波形也向前平移。

方法：作出经微小时间Δt后的波形，如图虚线所示，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了，图中P点振动方向向下。

④同侧法：质点的振动方向与波的传播方向在波的图象的同一侧，如图所示，若波向右传播，则P向下运动。

⑤头头(尾尾)相对法：在波形图的波峰(或波谷)上画出一个箭头表示波的传播方向，并在波峰(或波谷)两边波形上分别画出两个箭头表示质点运动方向。那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对(如图所示)。

知识点二、振动图像和波的图像的区别

知识点三、波长(λ)

1．定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．

2．其他表述：

(1)波动中，对平衡位置的位移总是相同的两个相邻质点间的距离等于波长．

(2)在横波中，两个相邻的波峰(或波谷)间的距离等于波长．在纵波中，两个相邻的密部(或疏部)间的距离等于波长．

(3)经过一个周期，振动在介质中传播的距离等于波长．

知识点四、周期(T)与频率(f)

1．波的周期(或频率)就等于波源质点振动的周期(或频率)。

2．物理意义：波的周期(或频率)是反映波变化快慢的物理量，它不能反映波传播的快慢。

(1)波的周期由波源决定，与传播介质无关。同一列波在不同介质中传播时能够保持不变的是周期(或频率)。

(2)每经历一个周期，各振动质点完成一次全振动，波形图将恢复原状。

知识点五、波速(v)

1．定义：波速是指振动在介质中传播的速度，而不是介质质点的振动速度．从波形上看，波的传播速度即波形的平移速度．

2．关系式：v＝＝λf.

知识点六、决定波长、频率和波速的因素

1．频率：波的频率由波源振动的频率决定，与介质无关．

2．波速：波速由介质的性质决定，与温度有关，与波源的振动无关．

3．波长：波长由介质和波源共同决定．

典例分析

一、波的传播

例1  如图是一列横波在某一时刻的波形，波沿x轴正方向传播。

(1)该时刻质点A的振动方向向________，质点C的振动方向向________，质点D的振动方向向________。

(2)再经过T，质点A通过的路程是________cm，质点C的位移是________cm。

解析　(1)由于波沿x轴正方向传播，质点A在“下坡区”，所以它向上运动；质点C、质点D均在“上坡区”，所以质点C、D都向下运动。

(2)再经过T，质点A又回到平衡位置，所以质点A通过的路程为4 cm；质点C也回到平衡位置，其位移为0。

答案　(1)上　下 　下　(2)4　0

归纳总结：简谐运动中质点的位移

对于做简谐运动的质点，其位移都是相对平衡位置而言的，与起点在何处无关，这一点与运动学中的位移有所不同。

二、波的图像和振动图像

例2  一列简谐横波沿x轴负方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是波的某振动质点位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点)，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图线(　　)

A．x＝0处的质点                                                       B．x＝1 m处的质点

C．x＝2 m处的质点                                      D．x＝3 m处的质点

解析　当t＝1 s时，由图乙振动图线可知，质点在平衡位置，沿y轴负方向运动，由图甲波动图线沿x轴负方向传播判断x＝0处的质点在平衡位置正沿y轴负方向运动，所以A正确。

答案　A

归纳总结：解决波的图象与振动图象综合问题的方法

(1)分清图象类型，明确是振动图象，还是波的图象。

(2)结合题意看清是哪一时刻的波形图，然后再看振动图象中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图象。反之亦可根据振动图象，画出某一时刻的波形图。

(3)波的传播具有双向性，对于波的传播方向不明确的，应分情况讨论。

三、波的传播

例3  如图所示是一列简谐波在某一时刻的波形图.下列说法中正确的是(　  　)

A.质点A,C,E,G,I在振动过程中位移总是相同

B.质点B,F在振动过程中位移总是相同

C.质点D,H的平衡位置间的距离是一个波长

D.质点A,I在振动过程中位移总是相同,它们的平衡位置间的距离是一个波长

解析  从图象中可以看出质点A,C,E,G,I在该时刻的位移都是零,由于波的传播方向是向右的,容易判断出质点A,E,I的速度方向是向下的,而质点C,G的速度方向是向上的,因而这五个点的位移不总是相同,A错误;质点B,F是同处在波峰的两个点,它们的振动步调完全相同,在振动过程中位移总是相等,B正确;质点D,H是处在相邻的两个波谷的点,它们的平衡位置之间的距离等于一个波长,C正确;虽然质点A,I在振动过程中位移总是相同,振动步调也完全相同,但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点,它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长),D错误.

答案  BC

归纳总结：波长的三种确定方法

(1)根据定义确定

①在波动中,振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长.

②波在一个周期内传播的距离等于一个波长.

(2)根据波的图象确定

①在波的图象上,振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长.

②在波的图象上,运动状态(速度)总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长.

③在波的图象上,两个相邻波峰(或波谷)间的距离为一个波长.

(3)根据公式λ=vT来确定.

四、波的传播的应用

例4  波源质点在坐标原点O沿y方向上下振动,已知t=0时刻波恰好传到x=20 cm 的质点处,波形如图,波沿x轴正向传播,波速为2 m/s,由此可知(　  　)

A.波源质点的振动周期一定为0.2 s

B.介质中各质点的振幅一定为4 cm

C.波源质点的起振方向一定沿y轴负方向

D.再经过0.4 s波恰好传到x=60 cm的P点

解析  波源质点的振动周期等于波的周期,大小为T== s=0.1 s,选项A错误;介质中各质点的振幅一定为4 cm,选项B正确;波传到x=20 cm的质点处时,此质点的振动方向向下,故波源质点的起振方向一定沿y轴负方向,选项C正确;波传到x=60 cm的P点需要的时间是t== s=0.2 s,选项D错误.

答案  BC

自我检测

1．关于振动图象和波的图象，以下说法正确的是(　　)

A．波的图象反映出很多质点在不同时刻的位移

B．通过波的图象可以找出任一质点在任一时刻的位移

C．从振动图象可以找出很多质点在任一时刻的位移

D．两种图象的纵坐标都表示质点离开平衡位置的位移

解析  波的图象表示的是连续介质中的各个质点在某一时刻的位移，振动图象表示的是某一质点在各个时刻的位移。

答案  D

2．一列简谐横波沿x轴正向传播，某时刻的图象如图所示，坐标为(3,0)的质点经过周期后该质点的坐标是(　　)

A．(3,2)                                                 B．(4,2)

C．(4，－2)                                           D．(3,0)

解析  波向右传播，则质点(3,0)向上运动，周期后到达波峰处，坐标为(3,2)，故A正确。

答案  A

3．如图甲所示，S为振源，P质点距S的距离为r，t＝0时刻S由平衡位置开始振动，产生沿直线向右传播的简谐横波，图乙为P质点从t₁时刻开始振动的振动图象，则下列说法正确的是(　　)

A．t＝0时刻振源S的振动方向沿y轴正方向

B．t₂时刻P质点振动速度最大，方向沿y轴负方向

C．t₂时刻振源S处于平衡位置向y轴正方向振动

D．若波源停止振动，则P质点也马上停止振动

解析  当机械波在t₁时刻刚传到P质点时，P质点的起振方向沿y轴正方向，说明这列波的起振方向沿y轴正方向，则t＝0时，振源的振动方向沿y轴正方向，选项A正确；根据题图乙可知，t₂时刻P质点处于平衡位置向y轴正方向振动，即此时P质点具有正向的最大速度，选项B错误；根据题图乙无法确定t₂时刻振源S的位置，选项C错误；如果波源停止振动，则P质点需要经过t₁时间才会停止振动，选项D错误。

答案  A

4.如图所示为一列沿x轴负方向传播的简谐波在某一时刻的图象，下列说法中正确的是(　　)

A．该时刻a点和d点处的质点位移相同，加速度方向相反

B．该时刻b点和c点处的质点位移相同，速度方向也相同

C．质点b比质点c先回到平衡位置

D．质点a比质点d先回到平衡位置

解析  题图时刻a、d两点位移相同，加速度相同，A错；据“上坡下、下坡上”可以判断a、b两点向上运动，c、d两点向下运动，所以c比b先回到平衡位置，a比d先回到平衡位置，C错，D对。

答案   D

5．如图所示，水平放置的弹性长绳上有一系列均匀分布的质点1、2、3……，现使质点1沿竖直方向做简谐运动，振动将沿绳向右传播，质点1的起始振动方向向上，当振动传播到质点13时，质点1恰好完成一次全振动，此时质点9的运动情况是(　　)

A．加速度方向竖直向上                        B．加速度方向竖直向下

C．速度方向竖直向上                            D．速度方向竖直向下

解析  由题可知，质点1的起振方向向上，介质中各质点起振方向均向上，波向右传播，画出1－13个质点间的波形如图所示：

由图可以看出，质点9正在向下运动，速度方向向下，位移减小，加速度也正在减小，且方向竖直向下，故B、D正确，A、C错误。

答案  BD

6.简谐横波某时刻的波形图线如图所示。由此图可知(　　)

A．若质点a向上运动，则波是从左向右传播的

B．若质点b向下运动，则波是从左向右传播的

C．若波从右向左传播，则质点c向下运动

D．若波从右向左传播，则质点d向上运动

解析  由“上下坡法”可判，若波向右传播，则a、b向上运动，c、d向下运动；若波向左传播，则a、b向下运动，c、d向上运动。故选A、D。

答案  AD

7．关于振动图象和波的图象，下列说法正确的是(　　)

A．波的图象反映的是很多质点在同一时刻的位移

B．通过波的图象可以找出任一质点在任一时刻的位移

C．它们的横坐标都表示时间

D．它们的纵坐标都表示质点的位移

解析  波的图象反映的是沿波的传播方向上各个质点在某一时刻的位移，A正确，B错误；波的图象的横坐标表示的是振动质点的平衡位置坐标，C错误；波的图象和振动图象的纵坐标都表示质点的位移，D正确．

答案  AD

8．一简谐横波沿x轴正向传播，图甲是t＝0时刻的波形图，图乙是介质中某质点的振动图象，则该质点的x坐标值合理的是(　　)

        

A．0.5 m　　　　　　　                     B．1.5 m

C．2.5 m                                              D．3.5 m

解析  由y－t图象知，t＝0时质点位移为负值，且向y轴负方向运动，由y－x图象知，x＝0.5 m和x＝3.5 m处的质点此时刻位移为正值，故A、D错误；由传播方向与振动方向关系可判定，x＝1.5 m的质点向y轴正方向运动，x＝2.5 m处质点向y轴负方向运动，故C正确，B错误．

答案   C

9．一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示。介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10 sin(5πt)cm。关于这列简谐波，下列说法正确的是

A．周期为4 s　　　　　　                            B．振幅为20 cm

C．传播方向沿x轴正向                                D．传播速度为10 m/s

解析　ω＝5π rad/s，周期为T＝＝0.4 s。由题目中波的图象得：振幅A＝10 cm，波长λ＝4 m，故波速为v＝＝10 m/s。P点在t＝0时振动方向为y轴正方向，故波沿x轴正方向传播。

答案　CD

11．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为

A．4 m、6 m和8 m                                      B．6 m、8 m和12 m

C．4 m、6 m和12 m                                    D．4 m、8 m和12 m

解析　由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三种可能：6 m＝λ，6 m＝，6 m＝λ，故波长的可能值为6 m、12 m和4 m，C正确。

答案　C

12．一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示。若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是

A．2 m/s                                                       B．3 m/s

C．4 m/s                                                       D．5 m/s

解析　t<T，故：若波向右传播，则波传播的距离x₁＝0.02 m，则波速v₁＝＝ m/s＝1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x₂＝0.06 m，则波速v₂＝＝ m/s＝3 m/s，故正确选项为B。

答案　B

13．一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x₁＝1.5 m和x₂＝4.5 m的两质点A、B的振动图象如图所示。由此可知

A．1 s末A、B两质点的位移相同

B．2 s末A点的振动速度大于B点振动速度

C．波长为4 m

D．波速为1 m/s

解析　从A、B两质点的振动图象可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm，质点B的位移为0，选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负向最大位移处，速度为零，选项B正确；从A、B两点的振动图象可以看出，A、B两点间的距离为(n＋)个波长(n＝0，1，2，…)，结合题给条件可得：(n＋)λ＝x₂－x₁，代入数据解得波长为：λ＝ m(n＝0，1，2，…)，由题意知波长大于3 m，则n＝0，波长为：λ＝4 m，选项C正确；从振动图象可以看出周期为：T＝4 s，则波速为：v＝＝1 m/s，选项D正确。

答案　BCD

14．声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4 900 m/s。一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一下桥的一端发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1. 00 s。桥的长度为________m。若该声波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中的波长为λ的________倍。

解析　设声波在钢铁中的传播时间为t₁、传播速度为v₁，在空气中的传播时间为t₂、传播速度为v₂，桥长为l，则l＝v₁t₁＝v₂t₂，而t₂－t₁＝1.00 s，代入数据解得l＝365 m。又λ＝，声波频率不变，所以＝，得λ_钢＝λ_空＝λ。

答案　365　

15.如图所示是一列横波在某一时刻的波形图，波沿x轴正方向传播，则：

(1)A点、C点、D点的振动方向各是怎样的？

(2)再经过T，质点A通过的路程是多少？质点C的位移是多少？

解析  (1)波沿x轴正方向传播，所以A点向上振动，C点向下振动，D点无运动方向。

(2)再过T，A点通过3个振幅的路程，即6 cm；质点C到达正向最大位移处，位移是2 cm。

答案  (1)A点向上，C点向下，D点无方向　(2)6 cm，2 cm