第1讲　动量　动量守恒定律

一、冲量、动量和动量定理

1．冲量

(1)定义：力和力的作用时间的乘积．

(2)公式：I＝Ft，适用于求恒力的冲量．

(3)方向：与力的方向相同．

2．动量

(1)定义：物体的质量与速度的乘积．

(2)表达式：p＝mv.

(3)单位：千克·米/秒；符号：kg·m/s.

(4)特征：动量是状态量，是矢量，其方向和速度方向相同．

3．动量定理

(1)内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量．

(2)表达式：F_合·t＝Δp＝p′－p.

(3)矢量性：动量变化量的方向与合力的方向相同，可以在力的方向上用动量定理．

(4)动能和动量的关系：E_k＝.

二、动量守恒定律

1．内容

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变．

2．表达式

(1)p＝p′，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.

(2)m₁v₁＋m₂v₂＝m₁v₁′＋m₂v₂′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．

(3)Δp₁＝－Δp₂，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向．

(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零．

3．适用条件

(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．

(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．

(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．

深度思考　判断下列说法是否正确．

(1)动量越大的物体，其质量越大．(　×　)

(2)两物体动能相等，动量一定相等．(　×　)

(3)物体所受合力不变，则动量也不改变．(　×　)

(4)物体沿水平面运动，重力不做功，其冲量为零．(　×　)

(5)物体所受的合力的冲量方向与物体动量变化的方向相同．(　√　)

(6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒．(　×　)

三、碰撞问题

1．定义：两个或两个以上的物体在相遇的极短时间内产生非常大的相互作用的过程．

2．碰撞特征

(1)作用时间短．

(2)作用力变化快．

(3)内力远大于外力．

(4)满足动量守恒．

3．碰撞的分类及特点

(1)弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒．

(2)非弹性碰撞：动量守恒，机械能不守恒．

(3)完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能损失最大．

 1.下列说法正确的是(　　)

A．速度大的物体，它的动量一定也大

B．动量大的物体，它的速度一定也大

C．只要物体的运动速度大小不变，物体的动量就保持不变

D．物体的动量变化越大则该物体的速度变化一定越大

答案　D

2．质量是60 kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护，他被悬挂起来．已知安全带的缓冲时间是1.2 s，安全带长5 m，取g＝10 m/s²，则安全带所受的平均冲力的大小为(　　)

A．500 N  B．600 N  C．1 100 N  D．100 N

答案　C

解析　安全带长5 m，人在这段距离上做自由落体运动，获得的速度v＝＝10 m/s.受安全带的保护经1.2 s速度减小为0，对此过程应用动量定理，以向上为正方向，有(F－mg)t＝0－(－mv)，则F＝＋mg＝1 100 N，C正确．

3．(多选)质量为m的物体以初速度v₀开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小为(　　)

A．m(v－v₀)                                    B．mgt

C．m                                  D．m

答案　BCD

4．A球的质量是m，B球的质量是2m，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动．B在前，A在后，发生正碰后，A球仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰后两球的速率比v_A′∶v_B′为(　　)

A．1∶2  B．1∶3  C．2∶1  D．2∶3

答案　D

命题点一　动量定理的理解和应用

1．动量、动能、动量变化量的比较

 

2.动量定理理解的要点

(1)矢量式．

(2)F既可以是恒力也可以是变力．

(3)冲量是动量变化的原因．

(4)由Ft＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率．

3．用动量定理解释现象

(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小．

(2)F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小．

分析问题时，要把哪个量一定，哪个量变化搞清楚．

4．应用动量定理解题的步骤

(1)确定研究对象：可以是单个物体，也可以是几个物体组成的系统．

(2)进行受力分析：分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力．

(3)分析运动过程，选取正方向，确定初、末状态的动量以及整个过程合力的冲量．

(4)列方程：根据动量定理列方程求解．

例1　如图1所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v₀向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为(　　)

图1

A．v₀＋v　　　　　　                   B．v₀－v

C．v₀＋(v₀＋v)                              D．v₀＋(v₀－v)

答案　C

解析　救生员跃出时，船和救生员组成的系统动量守恒．初状态：救生员和小船相对静止以速率v₀向右匀速行驶；末状态：救生员以速率v水平向左运动，设小船的速度为v′.取向右为正方向，由动量守恒定律可得(M＋m)v₀＝m(－v)＋Mv′，则v′＝v₀＋(v₀＋v)．

1．篮球运动员通常伸出双手迎接传来的篮球．接球时，两手随球迅速收缩至胸前．这样做可以(　　)

A．减小球对手的冲量

B．减小球对手的冲击力

C．减小球的动量的变化量

D．减小球的动能的变化量

答案　B

解析　由动量定理Ft＝Δp知，接球时两手随球迅速收缩至胸前，延长了手与球接触的时间，从而减小了球对手的冲击力，选项B正确．

2．如图2所示，静止在光滑水平面上的小车质量M＝20 kg.从水枪中喷出的水柱的横截面积S＝10 cm²，速度v＝10 m/s，水的密度ρ＝1.0×10³ kg/m³.若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中．当有质量m＝5 kg的水进入小车时，试求：

图2

(1)小车的速度大小；

(2)小车的加速度大小．

答案　(1)2 m/s　(2)2.56 m/s²

解析　(1)流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，设当进入质量为m的水后，小车速度为v₁，则mv＝(m＋M)v₁，即v₁＝＝2 m/s

(2)质量为m的水流进小车后，在极短的时间Δt内，冲击小车的水的质量Δm＝ρS(v－v₁)Δt，设此时水对车的冲击力为F，则车对水的作用力为－F，由动量定理有－FΔt＝Δmv₁－Δmv，得F＝ρS(v－v₁)²＝64 N，小车的加速度a＝＝2.56 m/s².

命题点二　动量守恒定律的理解和应用

1．动量守恒定律的“五性”

 

2.应用动量守恒定律的解题步骤

(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；

(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；

(3)规定正方向，确定初末状态动量；

(4)由动量守恒定律列出方程；

(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．

3．应用动量守恒定律时的注意事项

(1)动量守恒定律的研究对象都是相互作用的物体组成的系统．系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．

(2)分析系统内物体受力时，要弄清哪些力是系统的内力，哪些力是系统外的物体对系统的作用力．

例2　如图3所示，甲车质量m₁＝m，在车上有质量M＝2m的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时m₂＝2m的乙车正以速度v₀迎面滑来，已知h＝，为了使两车不发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点．

图3

①使两车不发生碰撞．②不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点．

答案　v₀≤v≤v₀

解析　设向左为正方向，甲车(包括人)滑下斜坡后速度为v₁，由机械能守恒定律有(m₁＋M)v＝(m₁＋M)gh，解得v₁＝2v₀

设人跳出甲车的水平速度(相对地面)为v，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v₁′和v₂′，则人跳离甲车时：(M＋m₁)v₁＝Mv＋m₁v₁′

人跳上乙车时：Mv－m₂v₀＝(M＋m₂)v₂′

解得v₁′＝6v₀－2v，v₂′＝v－v₀

两车不发生碰撞的临界条件是v₁′＝±v₂′

当v₁′＝v₂′时，解得v＝v₀

当v₁′＝－v₂′时，解得v＝v₀

故v的取值范围为v₀≤v≤v₀.

“三个物体，两次作用”是近几年考查动量守恒定律应用的模型之一，且常涉及临界问题.由于作用情况及作用过程较为复杂，要根据作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方程，或将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统，分别建立动量守恒方程，联立求解.

3．(多选)如图4所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上高h处由静止开始自由下滑(　　)

图4

A．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功

B．在下滑过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒

C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动

D．被弹簧反弹后，小球能回到槽上高h处

答案　BC

解析　在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽做功，选项A错误；在下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，选项B正确；小球被弹簧反弹后，小球和槽在水平方向不受外力作用，故小球和槽都做匀速运动，选项C正确；小球与槽组成的系统动量守恒，球与槽的质量相等，小球沿槽下滑，球与槽分离后，小球与槽的速度大小相等，小球被弹簧反弹后与槽的速度相等，故小球不能滑到槽上，选项D错误．

4．如图5所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动．两球质量关系为m_B＝2m_A，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则(　　)

图5

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

答案　A

解析　由两球的动量都是6 kg·m/s可知，运动方向都向右，且能够相碰，说明左方是质量小速度大的小球，故左方是A球．碰后A球的动量减少了4 kg·m/s，即A球的动量为2 kg·m/s，由动量守恒定律知B球的动量为10 kg·m/s，则其速度比为2∶5，故选项A是正确的．

5．如图6所示，质量为m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量为M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.4.质量为m₀＝5 g的子弹以速度v₀＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s².子弹射入后，求：

图6

(1)子弹进入物块后一起向右滑行的最大速度v₁.

(2)木板向右滑行的最大速度v₂.

(3)物块在木板上滑行的时间t.

答案　(1)6 m/s　(2)2 m/s　(3)1 s

解析　(1)子弹进入物块后一起向右滑行的初速度即为物块的最大速度，由动量守恒定律可得：

m₀v₀＝(m₀＋m)v₁

解得v₁＝6 m/s

(2)当子弹、物块、木板三者共速时，木板的速度最大，由动量守恒定律可得：

(m₀＋m)v₁＝(m₀＋m＋M)v₂

解得v₂＝2 m/s

(3)对物块和子弹组成的整体应用动量定理得：

－μ(m₀＋m)gt＝(m₀＋m)v₂－(m₀＋m)v₁

解得：t＝1 s

命题点三　碰撞现象

1．物体的碰撞是否为弹性碰撞的判断

弹性碰撞是碰撞过程中无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒定律和机械能守恒定律，确切地说是碰撞前后系统动量守恒，动能不变．

(1)题目中明确告诉物体间的碰撞是弹性碰撞．

(2)题目中明确告诉是弹性小球、光滑钢球或分子(原子等微观粒子)碰撞的，都是弹性碰撞．

2．碰撞现象满足的规律

(1)动量守恒定律．

(2)机械能不增加．

(3)速度要合理．

①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v_后＞v_前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v_前′≥v_后′；

②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．

3．对反冲现象的三点说明

(1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动，通常用动量守恒来处理．

(2)反冲运动中，由于有其他形式的能转变为机械能，所以系统的总机械能增加．

(3)反冲运动中平均动量守恒．

4．爆炸现象的两个规律

(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒．

(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加．

例3　如图7所示，质量均为m的小车与木箱紧挨着静止在光滑的水平冰面上，质量为2m的小明站在小车上用力向右迅速推出木箱，木箱相对于冰面的速度为v，接着木箱与右侧竖直墙壁发生弹性碰撞，反弹后被小明接住，求小明接住木箱后三者共同速度的大小．

图7

答案　

解析　取向左为正方向，根据动量守恒定律得推出木箱的过程有

0＝(m＋2m)v₁－mv

接住木箱的过程有

mv＋(m＋2m)v₁＝(m＋m＋2m)v₂

解得共同速度v₂＝.

1．碰撞是否为弹性碰撞要看题目中是否给出相关关键词语，如“弹性小球”“无能量损失”等．

2．正碰是碰撞前后两物体动量均共线的碰撞，不一定是弹性碰撞．

6．(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是m₁＝4 kg，m₂＝2 kg，A的速度v₁＝3 m/s(设为正)，B的速度v₂＝－3 m/s，则它们发生正碰后，其速度可能分别是(　　)

A．均为1 m/s

B．＋4 m/s和－5 m/s

C．＋2 m/s和－1 m/s

D．－1 m/s和＋5 m/s

答案　AD

解析　由动量守恒，可验证四个选项都满足要求．再看动能情况

E_k＝m₁v＋m₂v＝×4×9 J＋×2×9 J＝27 J

E_k′＝m₁v₁′²＋m₂v₂′²

由于碰撞过程动能不可能增加，所以应有E_k≥E_k′，可排除选项B.选项C虽满足E_k≥E_k′，但A、B沿同一直线相向运动，发生碰撞后各自仍能保持原来速度方向(v_A′>0，v_B′<0)，这显然是不符合实际的，因此C错误．验证选项A、D均满足E_k≥E_k′，故选A(完全非弹性碰撞)和D(弹性碰撞)．

题组1　动量、冲量和动量定理的理解及应用

1．一个质量是5 kg的小球以5 m/s的速度竖直落到地板上，随后以3 m/s的速度反向弹回，若取竖直向下的方向为正方向，则小球动量的变化量是(　　)

A．10 kg·m/s                                              B．－10 kg·m/s

C．40 kg·m/s                                              D．－40 kg·m/s

答案　D

2．一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v，在此过程中(　　)

A．地面对他的冲量为mv＋mgΔt，地面对他做的功为mv²

B．地面对他的冲量为mv＋mgΔt，地面对他做的功为零

C．地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为mv²

D．地面对他的冲量为mv－mgΔt，地面对他做的功为零

答案　B

3．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间t₁内动能由零增大到E₁，在时间t₂内动能由E₁增加到2E₁，设合力在时间t₁内做的功为W₁，冲量为I₁，在时间t₂内做的功是W₂，冲量为I₂，则(　　)

A．I₁＜I₂，W₁＝W₂                          B．I₁＞I₂，W₁＝W₂

C．I₁＞I₂，W₁<W₂                            D．I₁＝I₂，W₁＜W₂

答案　B

4．如图1所示，一质量为M的长木板在光滑水平面上以速度v₀向右运动，一质量为m的小铁块在木板上以速度v₀向左运动，铁块与木板间存在摩擦，为使木板能保持速度v₀向右匀速运动，必须对木板施加一水平力，直至铁块与木板达到共同速度v₀.设木板足够长，求此过程中水平力的冲量大小．

图1

答案　2mv₀

解析　考虑M、m组成的系统，设M运动的方向为正方向，根据动量定理有Ft＝(M＋m)v₀－(Mv₀－mv₀)＝2mv₀

则水平力的冲量I＝Ft＝2mv₀.

题组2　动量守恒定律的理解和应用

5．(多选)光滑水平地面上，A、B两物体质量都为m，A以速度v向右运动，B原来静止，左端有一轻弹簧，如图2所示，当A撞上弹簧，弹簧被压缩最短时(　　)

图2

A．A、B系统总动量仍然为mv

B．A的动量变为零

C．B的动量达到最大值

D．A、B的速度相等

答案　AD

解析　系统水平方向动量守恒，A正确；弹簧被压缩到最短时A、B两物体具有相同的速度，D正确，B错误；但此时B的速度并不是最大的，因为弹簧还会弹开，故B物体会进一步加速，A物体会进一步减速，C错误．

6．如图3所示，一辆小车静置于光滑水平面上，车的左端固定有一个水平弹簧枪，车的右端有一个网兜．若从弹簧枪中发射出一粒弹丸，弹丸恰好能落入网兜中，从弹簧枪发射弹丸以后，下列说法正确的是(　　)

图3

A．小车先向左运动一段距离然后停下

B．小车先向左运动又向右运动，最后回到原位置停下

C．小车一直向左运动下去

D．小车先向左运动，后向右运动，最后保持向右匀速运动

答案　A

7．(多选)如图4所示，A、B两物体质量之比m_A∶m_B＝3∶2，原来静止在平板小车C上．A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法中正确的是(　　)

图4

A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒

B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒

C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒

D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒

答案　BCD

解析　如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后A、B分别相对小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力F_fA向右，F_fB向左，由于m_A∶m_B＝3∶2，所以F_fA∶F_fB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A错．对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D均正确．若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受外力之和为零，故其动量守恒，C正确．

8.如图5所示，两块厚度相同的木块A、B，紧靠着放在光滑的桌面上，其质量分别为2.0 kg、0.9 kg，它们的下表面光滑，上表面粗糙，另有一质量为0.10 kg的铅块C(大小可以忽略)以10 m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面，由于摩擦，铅块C最后停在木块B上，此时B、C的共同速度v＝0.5 m/s.求木块A的最终速度和铅块C刚滑到B上时的速度．

图5

答案　0.25 m/s　2.75 m/s

解析　铅块C在A上滑行时，木块一起向右运动，铅块C刚离开A时的速度设为v_C′，A和B的共同速度为v_A，在铅块C滑过A的过程中，A、B、C所组成的系统动量守恒，有m_Cv₀＝(m_A＋m_B)v_A＋m_Cv_C′

在铅块C滑上B后，由于B继续加速，所以A、B分离，A以v_A匀速运动，在铅块C在B上滑行的过程中，B、C组成的系统动量守恒，有m_Bv_A＋m_Cv_C′＝(m_B＋m_C)v

代入数据解得v_A＝0.25 m/s，v_C′＝2.75 m/s.

题组3　碰撞现象的分析

9．如图6所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，A球在水平面上静止放置，B球向左运动与A球发生正碰，B球碰撞前、后的速率之比为3∶1，A球垂直撞向挡板，碰后以原速率返回．两球刚好不发生第二次碰撞，A、B两球的质量之比为________，A、B两球碰撞前、后总动能之比为________．

图6

答案　4∶1　9∶5

解析　设A、B两球的质量分别为m_A和m_B，A球碰撞后的速度大小为v_A2，B球碰撞前、后的速度大小分别为v_B1和v_B2，由题意知v_B1∶v_B2＝3∶1，v_A2＝v_B2.A、B碰撞过程由动量守恒定律得m_Bv_B1＝m_Av_A2－m_Bv_B2，所以有＝＝.碰撞前、后的总动能之比为＝.

10．如图7所示，光滑水平面上有三个滑块A、B、C，质量关系是m_A＝m_C＝m、m_B＝.开始时滑块B、C紧贴在一起，中间夹有少量炸药，处于静止状态，滑块A以速度v₀正对B向右运动，在A未与B碰撞之前，引爆了B、C间的炸药，炸药爆炸后B与A迎面碰撞，最终A与B粘在一起，以速率v₀向左运动．求：

图7

(1)炸药爆炸过程中炸药对C的冲量；

(2)炸药的化学能有多少转化为机械能？

答案　见解析

解析　(1)全过程，A、B、C组成的系统动量守恒

m_Av₀＝－(m_A＋m_B)v₀＋m_Cv_C

炸药对C的冲量：I＝m_Cv_C－0

解得：I＝mv₀，方向向右

(2)炸药爆炸过程，B和C组成的系统动量守恒

m_Cv_C－m_Bv_B＝0

据能量关系得：ΔE＝×v＋mv

解得：ΔE＝mv.