第2讲　机械波

一、机械波　横波和纵波

1．机械波的形成条件

(1)有发生机械振动的波源．

(2)有传播介质，如空气、水等．

2．机械波的传播特点

(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波发生迁移．

(2)介质中各质点的振幅相同，振动周期和频率都与波源振动周期和频率相同．

(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零．

3．机械波的分类

(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰(凸部)和波谷(凹部)．

(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部．

深度思考　当波源停止振动时，机械波是否停止传播了呢？

答案　不是，机械波传播的是振动形式和能量．

二、横波的图象　波速、波长和频率的关系

1．横波的图象

(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示某时刻各质点的位移．

(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移．

(3)图象(如图1)：

图1

2．波长、波速、频率及其关系

(1)波长λ

在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．

(2)波速v

波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定．

(3)频率f

由波源决定，等于波源的振动频率．

(4)波长、波速和频率的关系：

①v＝λf；②v＝.

深度思考　波的图象是振动质点的运动轨迹吗？

答案　不是，波的图象是某时刻各质点相对平衡位置的位移．

三、波的干涉和衍射　多普勒效应

1．波的干涉和衍射

 

2.多普勒效应

(1)条件：声源和观察者之间有相对运动．

(2)现象：观察者感到频率发生变化．

(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化．

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．在机械波传播过程中，介质中的质点随波的传播而迁移

B．周期或频率只取决于波源，而与v、λ无直接关系

C．波速v取决于介质的性质，它与T、λ无直接关系．只要介质不变，v就不变；如果介质变了，v也一定变

D．一切波都能发生衍射现象

答案　BCD

2.(人教版选修3－4P28第1题)(多选)简谐横波某时刻的波形如图2所示．P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向传播．以下说法正确的是(　　)

图2

A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向

B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向

C．再过半个周期时，质点P的位移为负值

D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a

答案　CD

3．(人教版选修3－4P35第1题)(多选)以下关于波的衍射的说法，正确的是(　　)

A．波遇到障碍物时，一定会发生明显的衍射现象

B．当障碍物的尺寸比波长大得多时，会发生明显的衍射现象

C．当孔的大小比波长小时，会发生明显的衍射现象

D．通常讲话产生的声波，经过尺寸为1 m左右的障碍物时会发生明显的衍射现象

答案　CD

4．(粤教版选修3－4P29第3题)(多选)关于横波，下列说法中正确的是(　　)

A．波的传播过程就是介质中的质点由近及远的移动过程

B．波的传播过程就是波源提供的能量由近及远在介质中的传播过程

C．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向

D．波在传播过程中，介质中的质点所做的振动属于自由振动

答案　BC

命题点一　波的传播与波速公式的应用

1．波的图象特点

(1)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变．

(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3…)时，它们的振动步调总相反．

(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同．

2．波速公式

振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf.

3．由t时刻的波形确定t＋Δt时刻的波形(图3)

图3

(1)波向右传播Δt＝T的时间和向左传播Δt＝T的时间波形相同．

(2)若Δt＞T，可以采取“去整留零头”的办法．

4．判断波的传播方向与质点的振动方向的三种常见方法

(1)上下坡法：沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动，如图4甲所示．

(2)同侧法：波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧，如图乙所示．

甲

乙

丙

图4

(3)微平移法：将波形图沿传播方向平移Δx(Δx≤)，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定，如图丙所示．

例1　(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近．该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s．下列说法正确的是(　　)

A．水面波是一种机械波

B．该水面波的频率为6 Hz

C．该水面波的波长为3 m

D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去

答案　AC

解析　水面波是机械振动在水面上传播，是一种典型机械波，A对；从第一个波峰到第十个波峰中经历了九个波形，时间间隔为15秒，所以其振动周期为T＝ s＝ s，频率为0.6 Hz，B错；其波长λ＝vT＝1.8 m/s× s＝3 m，C对；波中的质点都上下振动，不随波迁移，但是能量随着波的向前传播而传递出去，D错．

例2　(多选)在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为y＝5sin (t)，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x＝12 m处，波形图象如图5所示，则(　　)

图5

A．此后再经6 s该波传播到x＝24 m处

B．M点在此后第3 s末的振动方向沿y轴正方向

C．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向

D．此后M点第一次到达y＝－3 m处所需时间是2 s

答案　AB

解析　波的周期T＝＝ s＝4 s，波长λ＝8 m，波速v＝＝2 m/s，则再经过6 s，波传播的距离为x₁＝vt＝12 m，该波传到x＝24 m处，选项A正确；M点在此时振动方向沿y轴负方向，则此后第3 s末，即经过了T，该点的振动方向沿y轴正方向，选项B正确；因波传到x＝12 m处时，质点向y轴正方向振动，故波源开始振动时的运动方向沿y轴正方向，选项C错误；M点第一次到达y＝－3 m位置时，所需的时间小于＝2 s，选项D错误．

1．(多选)由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播．波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s.已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m．P、Q开始振动后，下列判断正确的是(　　)

A．P、Q两质点运动的方向始终相同

B．P、Q两质点运动的方向始终相反

C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置

D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰

答案　BD

解析　根据题意可得T＝ s＝0.05 s，v＝16 m/s，故波长为λ＝vT＝0.8 m，找P点关于S点的对称点P′，根据对称性可知P′和P的振动情况完全相同，P′、Q两点相距Δx＝(－)λ＝λ，为半波长的整数倍，P′、Q两点振动方向始终相反，即P、Q两点振动方向始终相反，A错误，B正确；P点距离S点x＝19λ，当S恰好通过平衡位置向上运动时，P点在波峰，同理Q点距离S点x′＝18λ，当S恰好通过平衡位置向上运动时，Q点在波谷，D正确，C错误．

2．平静湖面传播着一列水面波(横波)，在波的传播方向上有相距3 m的甲、乙两小木块随波上下运动，测得两小木块每分钟都上下30次，甲在波谷时，乙在波峰，且两木块之间有一个波峰．这列水面波(　　)

A．频率是30 Hz  B．波长是3 m

C．波速是1 m/s  D．周期是0.1 s

答案　C

解析　由题意知T＝ s＝2 s，f＝＝0.5 Hz，A、D错误；λ＝3 m，则λ＝2 m，B错误；由v＝＝ m/s＝1 m/s，所以C正确．

命题点二　波动图象和振动图象的理解和应用

两种图象的比较

 

例3　图6甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为x_a＝2 m和x_b＝6 m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图象．下列说法正确的是(　　)

图6

A．该波沿＋x方向传播，波速为1 m/s

B．质点a经4 s振动的路程为4 m

C．此时刻质点a的速度沿＋y方向

D．质点a在t＝2 s时速度为零

答案　D

解析　由题图可知，该简谐横波波长为λ＝8 m，周期T＝8 s，所以波速为v＝＝1 m/s，该时刻开始质点b向上运动，所以该波沿－x方向传播，A错误；经过4 s(半个周期)质点a振动的路程为2A＝1 m，B错误；此刻质点a运动方向与质点b相反，沿－y方向，C错误；在t＝2 s时质点a在波谷处，速度为0，D正确．

波动图象和振动图象的转化

1．由波的图象画某一质点振动图象的步骤

(1)由波的图象求出波的周期，亦即质点做简谐运动的周期；

(2)从波的图象中找出该质点在计时时刻相对平衡位置的位移；

(3)根据质点振动方向和波传播方向间的关系，确定质点的振动方向；

(4)建立y－t坐标系，根据正弦或余弦规律画出质点的振动图象．

2．由波的图象和某一质点的振动图象判断波的传播规律的方法

(1)首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，注意各个质点振动的周期和振幅相同．

(2)从确定的振动图象中可以找出某质点在波的图象中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向．

3．(多选)图7a为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图b为质点Q的振动图象，则下列说法正确的是(　　)

图7

A．该波的周期是0.10 s

B．该波的传播速度为40 m/s

C．该波沿x轴的负方向传播

D．t＝0.10 s时，质点Q的速度方向向下

答案　BCD

解析　由振动图象可知，该波的周期是0.20 s，选项A错误；该波的传播速度为v＝＝ m/s＝40 m/s，选项B正确；由振动图象可知，t＝0.10 s时刻，Q点的振动方向向下，可知该波沿x轴的负方向传播，选项C、D正确；故选B、C、D.

4．一列简谐波沿x轴正方向传播，t＝0时波形如图8所示，已知在0.6 s末，A点恰第四次(图中为第一次)出现波峰，求：

图8

(1)该简谐波的波长、波速分别为多少？

(2)经过多长时间x＝5 m处的质点P第一次出现波峰？

(3)如果以该机械波到质点P开始计时，请画出P点的振动图象，并标明必要的横、纵坐标值，至少画出一个周期的图象．

答案　(1)2 m　10 m/s　(2)0.45 s　(3)如图所示

解析　(1)波长λ＝2 m

周期T＝ s＝0.2 s

波速v＝＝10 m/s

(2)波峰传到P点：t＝＝ s＝0.45 s

(3)如图所示

命题点三　波的干涉、衍射和多普勒效应

1．波的干涉现象的判断

(1)公式法：

某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.

①当两波源振动步调一致时：

若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；

若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．

②当两波源振动步调相反时：

若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；

若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．

(2)图象法：

在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．

2．多普勒效应的成因分析

(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．

(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小．

例4　如图9表示两个相干波源S₁、S₂产生的波在同一种均匀介质中相遇．图中实线表示波峰，虚线表示波谷，c和f分别为ae和bd的中点，则：

图9

(1)在a、b、c、d、e、f六点中，振动加强的点是__________．振动减弱的点是____________．

(2)若两振源S₁和S₂振幅相同，此时刻位移为零的点是________．

(3)画出此时刻a、c、e连线上，以a为起点的一列完整波形，标出e点．

答案　(1)a、c、e　b、d、f　(2)b、d、f　(3)见解析图

解析　(1)a、e两点分别是波谷与波谷、波峰与波峰相交的点，故此两点为振动加强点；c点处在a、e连线上，且从运动的角度分析a点的振动形式恰沿该线传播，故c点是振动加强点，同理b、d是振动减弱点，f也是振动减弱点．

(2)因为S₁、S₂振幅相同，振动最强区的振幅为2A，最弱区的振幅为零，位移为零的点是b、d、f.

(3)题图中对应时刻a处在两波谷的交点上，即此时刻a在波谷，同理e在波峰，所以对应的波形如图所示．

5．判断下列说法是否正确．

(1)加强点只是振幅增大，并非任一时刻位移都大．(　√　)

(2)衍射不需要条件，只有明显衍射才有条件．(　√　)

(3)两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象．(　×　)

(4)多普勒效应说明波源的频率发生变化．(　×　)

6．(多选)图10中S为在水面上振动的波源，M、N是水面上的两块挡板，其中N板可以上下移动，两板中间有一狭缝，此时测得A处水面没有振动，为使A处水面也能发生振动，可采用的方法是(　　)

图10

A．使波源的频率增大

B．使波源的频率减小

C．移动N使狭缝的间距增大

D．移动N使狭缝的间距减小

答案　BD

解析　使狭缝满足明显衍射的条件即可，或将狭缝间距变小，或将波长变大，B、D正确．

题组1　波的产生和传播

1．(多选)下列四幅图中关于机械振动和机械波的说法中正确的有(　　)

A．粗糙斜面上的金属球M在弹簧的作用下运动，该运动是简谐运动

B．单摆的摆长为l，摆球的质量为m、位移为x，此时回复力约为F＝－x

C．质点A、C之间的距离等于简谐波的一个波长

D．实线为某时刻的波形图，若此时质点M向下运动，则经一时间段后波动图如虚线所示

答案　BD

解析　在粗糙斜面上，金属球运动过程中要不断克服摩擦力做功，系统的机械能减小，金属球最终静止，所以该运动不是简谐运动，故A错误．单摆模型中摆球的回复力等于重力沿运动方向上的分力，即F＝mgsin θ，因为θ较小，sin θ≈，考虑到回复力的方向与位移x的方向相反，所以F＝－x，故B正确．相邻波峰或波谷之间的距离等于一个波长，而选项中质点A、C的平衡位置之间的距离只是简谐波的半个波长，故C错误．根据质点M向下运动可知，波正向x轴正方向传播，经一段时间，波形图如题图虚线所示，故D正确．

2．(多选)关于机械振动与机械波，下列说法正确的是(　　)

A．机械波的频率等于振源的振动频率

B．机械波的传播速度与振源的振动速度相等

C．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向

D．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离

答案　AD

解析　机械波的频率就是振源的振动频率，故A正确；机械波的传播速度与振源的振动速度无关，故B错误；波分横波和纵波，纵波的质点振动方向与波的传播方向在同一条直线上，故C错误；由v＝可知，在一个周期内，沿波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离，故D正确．

3．如图1所示，a、b、c、d…为传播简谐横波的介质中一系列等间隔的质点，相邻两质点间的距离均为0.1 m．若某时刻向右传播的波到达a质点，a开始时先向上运动，经过0.2 s d质点第一次达到最大位移，此时a正好在平衡位置(已知质点振幅为2 cm，a、d沿传播方向上的距离小于一个波长)．则该简谐横波在介质中的波速可能值为________ m/s，此时质点j的位移为________ cm.

图1

答案　3或2　0

解析　由题可知介质中质点起振方向向上，所以d质点第一次达到最大位移时处于波峰位置，又a、d沿传播方向上的距离小于一个波长，则可知a、d间的波形有两种情况，如图所示：

图甲：x_ad＝λ_甲

甲

t＝T_甲

v_甲＝

解得v_甲＝3 m/s

图乙：x_ad＝λ_乙

乙

t＝T_乙

v_乙＝

解得v_乙＝2 m/s

结合甲、乙两图可知此时质点j还没有起振，所以位移为零．

4．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm.O和A是介质中平衡位置分别位于x＝0和x＝5 cm处的两个质点．t＝0时开始观测，此时质点O的位移为y＝4 cm，质点A处于波峰位置；t＝ s 时，质点O第一次回到平衡位置，t＝1 s时，质点A第一次回到平衡位置．求：

(1)简谐波的周期、波速和波长；

(2)质点O的位移随时间变化的关系式．

答案　(1)4 s　7.5 cm/s　30 cm

(2)y＝0.08cos(t＋) m或y＝0.08sin(t＋) m

解析　(1)设振动周期为T.由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是个周期，由此可知T＝4 s①

由于质点O与A的距离Δx＝5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t＝ s时回到平衡位置，而A在t＝1 s时回到平衡位置，时间相差Δt＝ s，可得波的速度

v＝＝7.5 cm/s②

由λ＝vT得，简谐波的波长λ＝30 cm③

(2)设质点O的位移随时间变化的关系为

y＝Acos(＋φ₀)④

将①式及题给条件代入上式得

⑤

解得φ₀＝，A＝8 cm⑥

质点O的位移随时间变化的关系式为

y＝0.08cos(t＋) m⑦

或y＝0.08sin(t＋) m

题组2　波动图象和振动图象的理解及应用

5．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T.在t＝0时的波形如图2所示，波上有P、Q两点，其纵坐标分别为y_P＝2 cm，y_Q＝－2 cm，下列说法中正确的是(　　)

图2

A．P点的振动形式传到Q点需要

B．P、Q在振动过程中，位移的大小总相等

C．在内，P点通过的路程为20 cm

D．经过，Q点回到平衡位置

答案　AB

解析　由图看出，P、Q两点所对应的平衡位置间的距离等于半个波长，因简谐横波传播过程中，在一个周期内传播一个波长，则P点的振动形式传到Q点需要，P、Q两点的振动情况总是相反，所以在振动过程中，它们的位移大小总是相等，故A、B正确．若图示时刻P点在平衡位置或最大位移处，在T内，P点通过的路程为s＝5A＝5×4 cm＝20 cm，而实际上图示时刻，P点不在平衡位置或最大位移处，所以在T内，P点通过的路程不是20 cm，故C错误．图示时刻，Q点向下运动，速度减小，所以从图示位置运动到波谷的时间大于，再从波谷运动到平衡位置的时间为，所以经过T，Q点没有回到平衡位置，故D错误．

6．如图3所示，图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x＝2 m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象，质点Q的平衡位置位于x＝3.5 m处．下列说法正确的是(　　)

图3

A．在0.3 s时间内，质点P向右移动了3 m

B．这列波的传播速度是20 m/s

C．这列波沿x轴负方向传播

D．t＝0.1 s时，质点P的加速度大于质点Q的加速度

答案　D

解析　据波的传播特点可知，质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故A错误；由图知：λ＝4 m，T＝0.4 s，则波速v＝＝ m/s＝10 m/s.故B错误．由乙图读出，t＝0时刻质点P的速度向上，则由波形的平移法可知，这列波沿x轴正方向传播．故C错误．当t＝0.1 s时，质点P处于最大位移处，据简谐运动的特点可知，此时加速度最大，而质点Q此时不在最大位移处，所以质点P的加速度大于质点Q的加速度，故D正确．

7．图4甲为某一列沿x轴正向传播的简谐横波在t＝1 s时刻的波形图，图乙为参与波动的某一质点的振动图象，则下列说法错误的是(　　)

图4

A．该简谐横波的传播速度为4 m/s

B．从此时刻起，经过2 s，P质点运动了8 m的路程

C．从此时刻起，P质点比Q质点先回到平衡位置

D．图乙可能是图甲x＝2 m处质点的振动图象

答案　B

解析　由题图甲可得λ＝4 m，由题图乙可得T＝1 s，所以该简谐横波的传播速度为v＝＝4 m/s，故A正确．t＝2 s＝2T，则从此时刻起，经过2 s，P质点运动的路程为s＝8A＝8×0.2 m＝1.6 m，故B错误．简谐横波沿x轴正向传播，此时刻Q质点向上运动，而P质点直接向下运动，所以P质点比Q质点先回到平衡位置，故C正确．由题图乙知t＝1 s时刻质点的位移为0，振动方向沿y轴负方向，与题图甲x＝2 m处t＝1 s时刻的状态相同，所以题图乙可能是题图甲x＝2 m处质点的振动图象，故D正确．

8．利用发波水槽得到的水面波形如图5甲、乙所示，则(　　)

图5

A．图甲、乙均显示了波的干涉现象

B．图甲、乙均显示了波的衍射现象

C．图甲显示了波的干涉现象，图乙显示了波的衍射现象

D．图甲显示了波的衍射现象，图乙显示了波的干涉现象

答案　D

解析　由题图容易看出甲是小孔衍射，图乙是干涉，D选项正确．

题组3　波特有的现象

9．(多选)两列振动方向相同、振幅分别为A₁和A₂的相干简谐横波相遇．下列说法正确的是(　　)

A．波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A₁－A₂|

B．波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A₁＋A₂

C．波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移

D．波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅

答案　AD

解析　波峰与波谷相遇时，振幅相消，故实际振幅为|A₁－A₂|，故选项A正确；波峰与波峰相遇处，质点的振幅最大，合振幅为A₁＋A₂，但此处质点仍处于振动状态中，其位移随时间按正弦规律变化，故选项B错误；振动减弱点和加强点的位移随时间按正弦规律变化，选项C错误；波峰与波峰相遇时振动加强，波峰与波谷相遇时振动减弱，加强点的振幅大于减弱点的振幅，故选项D正确．

10．(多选)如图6所示，一水平长绳上系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球振动的固有频率为2 Hz.现在长绳两端分别有一振源P、Q同时开始以相同振幅A上下振动一段时间，某时刻两个振源在绳上形成的波形如图所示，两列波先后间隔一段时间经过弹簧振子所在位置，观察到小球先后出现了两次振动，小球第一次振动时起振方向向上，且振动并不显著，而小球第二次发生了显著的振动，则以下说法正确的是(　　)

图6

A．由振源P产生的波先到达弹簧处

B．由振源Q产生的波先到达弹簧处

C．两列波可能形成干涉

D．由振源Q产生的波的波速接近4 m/s

答案　AD

解析　由“上、下坡”法知P振源起振方向向上，Q振源起振方向向下，故先到达弹簧处的是P波，故A正确，B错误；两列机械波的波长不同，所以振动的频率一定不同，所以不能发生干涉，故C错误；Q晚到达弹簧振子所在位置，且小球产生了显著的振动，故Q的振动频率接近2 Hz，则周期接近0.5 s，波速v＝＝ m/s＝4 m/s，故D正确．